Do $DH$ là tia phân giác góc $EDF$ ($\widehat{EDH} = \widehat{EBC} = \widehat{HDF}$) và $EH$ là tia phân giác góc $DEF$, suy ra $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle{DEF}$
Hạ $HI$ vuông $EF$ tại $I$ thì $HI$ là bán kính đường tròn. Ta tính $HI$
Ta có $AF = BF \tan 60^\circ = \dfrac{3a\sqrt{3}}4$
$CF = BC - BF = \dfrac{5a}4$
$\widehat{FCH} = 90^\circ - \widehat{CBD} = 30^\circ$
$FH = CF \cdot \tan 30^\circ = \dfrac{5a\sqrt{3}}{12}$
$AH = AF - FH = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
$BH = \sqrt{BF^2 + HF^2} = \dfrac{a\sqrt{39}}6$
Do $\triangle{AHE} \sim \triangle{BHF}$ (g-g) nên $\dfrac{AH}{BH} = \dfrac{HE}{HF}$, suy ra $\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}3}{\dfrac{a\sqrt{39}}6} = \dfrac{HE}{\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}}$
Suy ra $HE = \dfrac{5a\sqrt{39}}{78}$
$\widehat{HEI} = \widehat{BAF} = 90^\circ - \widehat{ABF} = 30^\circ$
$HI = HE \sin 30^\circ = \dfrac{5a\sqrt{39}}{156}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
