[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
giúp em ba bài này với ạ
Toán 10 Hình học
- Thread starter oanh6807
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 226
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
2. Để ý thấy [imath]M,F,D[/imath] thẳng hàng. Ta có [imath]FDCE[/imath] nội tiếp nên [imath]\overline{ME} \cdot \overline{MC}=\overline{MF} \cdot \overline{MD}[/imath]
Từ đó [imath]M[/imath] thuộc trục đẳng phương của [imath](O_2)[/imath] và [imath](O_3)[/imath] nên [imath]MZ[/imath] là tiếp tuyến chung của [imath]2[/imath] đường tròn.
Gọi [imath]H[/imath] là giao điểm của [imath]CD[/imath] với [imath](O_3)[/imath]. Ta có [imath]PF^2=\overline{PD} \cdot \overline{PH}[/imath] và [imath]\overline{PF}\cdot \overline{PE}=\overline{PD} \cdot \overline{PH}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{\overline{PF}}{\overline{PE}}=\dfrac{\overline{PH}}{\overline{PC}}[/imath]. Lại có [imath]FH,CE[/imath] là đường kính của [imath](O_3),(O_2)[/imath] nên [imath]P[/imath] là tâm vị tự ngoài của [imath](O_2)[/imath] và [imath](O_3)[/imath].
Từ đó [imath]P,O_2,O_3[/imath] thẳng hàng, suy ra [imath]MZ \perp ZP[/imath]. Suy ra [imath]MEZP[/imath] nội tiếp.
Ta có [imath]\Delta MZC \sim \Delta PZE \Rightarrow \dfrac{ZE}{ZC}=\dfrac{PE}{MC} \Rightarrow \tan \widehat{ZEP}=\tan \widehat{ECZ}=\dfrac{PE}{MC}[/imath]
3. Giả sử [imath]AB[/imath] cắt [imath]CD[/imath] tại [imath]E[/imath]. (ta định nghĩa [imath]E[/imath] là điểm vô cực nếu [imath]AB \parallel CD[/imath])
Khi đó từ giả thiết ta thấy [imath]P,Q_1[/imath] liên hợp đẳng giác trong [imath]\Delta EBC[/imath] nên [imath]EQ_1,EP[/imath] đẳng giác trong [imath]\widehat{BEC}[/imath]
Tương tự [imath]P,Q_2[/imath] liên hợp đẳng giác trong [imath]\Delta EAD[/imath] nên [imath]EQ_2,EP[/imath] đẳng giác trong [imath]\widehat{AED}[/imath]
Từ đó [imath]EQ_1,EQ_2[/imath] trùng nhau hay [imath]Q_1Q_2,AB,CD[/imath] đồng quy. Từ đó ta có điều phải chứng minh (vì [imath]Q_1Q_2 \parallel AB \parallel CD[/imath] là [imath]Q_1Q_2,AB,CD[/imath] đồng quy tại điểm vô cùng)
4. Bổ đề cần lưu ý: Cho dây cung [imath]BC[/imath] bất kỳ của [imath](O)[/imath] và một đường tròn [imath](I)[/imath] tiếp xúc với [imath]BC[/imath] và cung [imath]BC[/imath] lần lượt tại [imath]P,Q[/imath]. Khi đó [imath]PQ[/imath] đi qua điểm chính giữa cung [imath]BC[/imath] còn lại của [imath](O)[/imath]. (em có thể tự chứng minh).
Quay lại bài toán. Gọi [imath]D[/imath] là điểm chính giữa cung lớn [imath]BC[/imath] thì ta có [imath]P,Q,D[/imath] thẳng hàng. [imath]AD[/imath] cắt [imath]BC[/imath] tại [imath]E[/imath].
Khi đó [imath]AE[/imath] là phân giác ngoài của [imath]\widehat{BAC}[/imath] nên [imath]AE \perp AI[/imath]. Mặt khác [imath]\widehat{BPI}=90^o[/imath] nên [imath]IPAE[/imath] nội tiếp.
[imath]\Rightarrow \widehat{EIA}=\widehat{EPA}[/imath]
Lại có: [imath]\widehat{PEA}=\dfrac{1}{2}(\text{sđ}CD-\text{sđ}AB)=\dfrac{1}{2}(\text{sđ}DB-\text{sđ}AB)=\dfrac{1}{2}\text{sđ}AD=\widehat{AQP}[/imath]
[imath]\Rightarrow AEQP[/imath] nội tiếp [imath]\Rightarrow \widehat{EPA}=\widehat{EQA}[/imath]
[imath]\Rightarrow \widehat{EIA}=\widehat{AQE}[/imath] hay [imath]AIQE[/imath] nội tiếp
[imath]\Rightarrow \widehat{IQE}=90^o[/imath].
Từ đó [imath]EQ[/imath] cũng là tiếp tuyến của [imath](I)[/imath] hay [imath]\widehat{QEI}=\widehat{PEI}[/imath]
Lại có [imath]AIQE,APIE[/imath] nội tiếp nên [imath]\widehat{QEI}=\widehat{QAI},\widehat{PEI}=\widehat{PAI}[/imath]
[imath]\Rightarrow \widehat{QEI}=\widehat{PAI}[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Từ đó [imath]M[/imath] thuộc trục đẳng phương của [imath](O_2)[/imath] và [imath](O_3)[/imath] nên [imath]MZ[/imath] là tiếp tuyến chung của [imath]2[/imath] đường tròn.
Gọi [imath]H[/imath] là giao điểm của [imath]CD[/imath] với [imath](O_3)[/imath]. Ta có [imath]PF^2=\overline{PD} \cdot \overline{PH}[/imath] và [imath]\overline{PF}\cdot \overline{PE}=\overline{PD} \cdot \overline{PH}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{\overline{PF}}{\overline{PE}}=\dfrac{\overline{PH}}{\overline{PC}}[/imath]. Lại có [imath]FH,CE[/imath] là đường kính của [imath](O_3),(O_2)[/imath] nên [imath]P[/imath] là tâm vị tự ngoài của [imath](O_2)[/imath] và [imath](O_3)[/imath].
Từ đó [imath]P,O_2,O_3[/imath] thẳng hàng, suy ra [imath]MZ \perp ZP[/imath]. Suy ra [imath]MEZP[/imath] nội tiếp.
Ta có [imath]\Delta MZC \sim \Delta PZE \Rightarrow \dfrac{ZE}{ZC}=\dfrac{PE}{MC} \Rightarrow \tan \widehat{ZEP}=\tan \widehat{ECZ}=\dfrac{PE}{MC}[/imath]
3. Giả sử [imath]AB[/imath] cắt [imath]CD[/imath] tại [imath]E[/imath]. (ta định nghĩa [imath]E[/imath] là điểm vô cực nếu [imath]AB \parallel CD[/imath])
Khi đó từ giả thiết ta thấy [imath]P,Q_1[/imath] liên hợp đẳng giác trong [imath]\Delta EBC[/imath] nên [imath]EQ_1,EP[/imath] đẳng giác trong [imath]\widehat{BEC}[/imath]
Tương tự [imath]P,Q_2[/imath] liên hợp đẳng giác trong [imath]\Delta EAD[/imath] nên [imath]EQ_2,EP[/imath] đẳng giác trong [imath]\widehat{AED}[/imath]
Từ đó [imath]EQ_1,EQ_2[/imath] trùng nhau hay [imath]Q_1Q_2,AB,CD[/imath] đồng quy. Từ đó ta có điều phải chứng minh (vì [imath]Q_1Q_2 \parallel AB \parallel CD[/imath] là [imath]Q_1Q_2,AB,CD[/imath] đồng quy tại điểm vô cùng)
4. Bổ đề cần lưu ý: Cho dây cung [imath]BC[/imath] bất kỳ của [imath](O)[/imath] và một đường tròn [imath](I)[/imath] tiếp xúc với [imath]BC[/imath] và cung [imath]BC[/imath] lần lượt tại [imath]P,Q[/imath]. Khi đó [imath]PQ[/imath] đi qua điểm chính giữa cung [imath]BC[/imath] còn lại của [imath](O)[/imath]. (em có thể tự chứng minh).
Quay lại bài toán. Gọi [imath]D[/imath] là điểm chính giữa cung lớn [imath]BC[/imath] thì ta có [imath]P,Q,D[/imath] thẳng hàng. [imath]AD[/imath] cắt [imath]BC[/imath] tại [imath]E[/imath].
Khi đó [imath]AE[/imath] là phân giác ngoài của [imath]\widehat{BAC}[/imath] nên [imath]AE \perp AI[/imath]. Mặt khác [imath]\widehat{BPI}=90^o[/imath] nên [imath]IPAE[/imath] nội tiếp.
[imath]\Rightarrow \widehat{EIA}=\widehat{EPA}[/imath]
Lại có: [imath]\widehat{PEA}=\dfrac{1}{2}(\text{sđ}CD-\text{sđ}AB)=\dfrac{1}{2}(\text{sđ}DB-\text{sđ}AB)=\dfrac{1}{2}\text{sđ}AD=\widehat{AQP}[/imath]
[imath]\Rightarrow AEQP[/imath] nội tiếp [imath]\Rightarrow \widehat{EPA}=\widehat{EQA}[/imath]
[imath]\Rightarrow \widehat{EIA}=\widehat{AQE}[/imath] hay [imath]AIQE[/imath] nội tiếp
[imath]\Rightarrow \widehat{IQE}=90^o[/imath].
Từ đó [imath]EQ[/imath] cũng là tiếp tuyến của [imath](I)[/imath] hay [imath]\widehat{QEI}=\widehat{PEI}[/imath]
Lại có [imath]AIQE,APIE[/imath] nội tiếp nên [imath]\widehat{QEI}=\widehat{QAI},\widehat{PEI}=\widehat{PAI}[/imath]
[imath]\Rightarrow \widehat{QEI}=\widehat{PAI}[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé