Toán 10 Hình học

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P. Kẻ AX vuông góc OP ( X thuộc OP ). Trên AB,AC lấy E,F thỏa PXE=ACX; OXF=ABX ( A,E,F cùng phía so với OP ). EF cắt (O) tại K, L ( K thuộc cung nhỏ AB ). Chứng minh OP là tiếp tuyến của (KXL)

 

[7 1 2 5]

Nếu để ý kỹ thì ta thấy điểm $X$ là điểm $A$-Dumpty của $\Delta ABC$ nên ta sẽ chứng minh điều trên.
Ta sẽ cần $2$ điều kiện là $X$ nằm trên đường đối trung từ đỉnh $A$ của $\Delta ABC$ và $\widehat{OXA}=90^o$.
Xét cực và đối cực với đường tròn $(O)$.
Nhận thấy $P$ là cực của đường thẳng $AX$ và $P$ nằm trên $BC$ nên đường thẳng $AX$ phải đi qua cực của $BC$.
Tức là $AX$ đi qua giao điểm $2$ tiếp tuyến của $B,C$ với $(O)$ hay $AX$ là đường đối trung của $\Delta ABC$.
Vậy $X$ là điểm $A$-Dumpty của $\Delta ABC$.
Chứng minh được điểm Dumpty thì sẽ có một số tính chất từ điểm $X$, nhưng anh sẽ chỉ dùng tính chất định nghĩa của điểm Dumpty là $\widehat{ABX}=\widehat{XAC}$ và $\widehat{ACX}=\widehat{XAB}$
Khi đó dễ thấy $XE \perp AB, XF \perp AC$.
Từ đó $AEXF$ nội tiếp và $(XEF)$ tiếp xúc $OX$. Ta chỉ cần chứng minh $(XEF)$ và $(XKL)$ tiếp xúc tại $X$ nữa là được.
Điều này tương đương với việc chứng minh $XK,XL$ đẳng giác với nhau trong $\widehat{EXF}$
$\Leftrightarrow \dfrac{EK \cdot EL}{FK \cdot FL}=\dfrac{XE^2}{XF^2}$ (2 điều tương đương trên là do tính chất của đường đẳng giác)
Mặt khác, $EK \cdot EL=AE \cdot EB, FK \cdot FL=AF \cdot FC$ nên ta sẽ chứng minh $\dfrac{AE}{AF} \cdot \dfrac{EB}{FC}=\dfrac{XE^2}{XF^2}$
Nhận thấy $\dfrac{XE}{XF}=\dfrac{XE}{AX} : \dfrac{XF}{AX}=\dfrac{\sin \widehat{BAX}}{\sin \widehat{CAX}}$
và $\dfrac{XB}{XC}=\dfrac{XB}{AX} \cdot \dfrac{AX}{XC}=\dfrac{\sin \widehat{BAX}}{\sin \widehat{ABX}} \cdot \dfrac{\sin \widehat{ACX}}{\sin \widehat{CAX}}=(\dfrac{\sin \widehat{BAX}}{\sin \widehat{CAX}})^2$
$\Rightarrow \dfrac{XE^2}{XF^2}=\dfrac{XB}{XC}$
Ta cần chứng minh $\dfrac{AE}{AF} \cdot \dfrac{EB}{FC}=\dfrac{XB}{XC} \Leftrightarrow \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{CF}{XC} : \dfrac{EB}{BX}$
Nhận thấy $\dfrac{AE}{AF}=\widehat{AE}{AX} : \dfrac{AF}{AX}=\dfrac{\cos \widehat{BAX}}{\cos \widehat{CAX}}$
$\dfrac{CF}{XC}=\cos \widehat{XCA}=\cos \widehat{BAX}, \dfrac{EB}{BX}=\cos \widehat{XBA}=\cos \widehat{CAX}$
Từ đây ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG