Toán 9 Hình Học

phong nguyen1234

Học sinh
Thành viên
24 Tháng tám 2021
68
69
21
18
Nghệ An
Trường THCS Trung Đô

Bùi Tấn Phát

Học sinh
Thành viên
4 Tháng mười một 2021
125
264
36
19
An Giang
Cho hình thang ABCD có O là giao của AC và BD,AB//CD.Chứng minh S OAB + S OCD>= 1/2 S ABCD
Mọi người giải hộ em bài này với ạ.

Gọi $AB$ là đáy nhỏ, $CD$ là đáy lớn của hình thang $ABCD$
Đặt $AB=a$, $CD=b$ ($a\le b$), đường cao tam giác $OAB$ là $h_1$, của $OCD$ là $h_2$.
Dễ chứng minh được hai tam giác $OAB$ và $OCD$ đồng dạng theo tỉ số $k=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{a}{b}$
Mà $\Delta OAB\backsim \Delta OCD$ nên $\dfrac{h_1}{h_2}=k=\dfrac{a}{b}$
Do $a\le b$ nên $\dfrac{a}{b}\le 1$ hay $\dfrac{h_1}{h_2}\le 1$
Suy ra $h_1\le h_2$
Ta có $S_{OAB}=\dfrac{1}{2}ah_1$, $S_{OCD}=\dfrac{1}{2}bh_2$, $S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}(a+b)(h_1+h_2)$
Giả sử $S_{OAB}+S_{OCD}\ge \dfrac{1}{2}S_{ABCD}$
$\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}ah_1+\dfrac{1}{2}bh_2\ge\dfrac{1}{4}(a+b)(h_1+h_2)$

$\Leftrightarrow 2ah_1+2bh_2\ge ah_1+ah_2+bh_1+bh_2$

$\Leftrightarrow ah_1-ah_2-bh_1+bh_2\ge0$

$\Leftrightarrow (a-b)(h_1-h_2)\ge0$

Ta có $a-b\le0$ và $h_1-h_2\le0$, do đó $(a-b)(h_1-h_2)\ge0$ luôn đúng
Suy ra $S_{OAB}+S_{OCD}\ge \dfrac{1}{2}S_{ABCD}$ luôn đúng (đpcm).
 
Top Bottom