Toán 8 Hình học

[Diễm065]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD, M thuộc đường chéo AC. Vẽ ME vuông góc AD tại E, MF vuông góc CD tại F. Gọi N là giao điểm của MF và BC. CMR:
a. MEDF là hình chữ nhật, MFCN là hình vuông.
b. Tam giác ABE = tam giác DAF, BE vuông hoặc EF.
c. Tam giác EMF = tam giác BMN, các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.

 

[Giúp mình]

[tex]MF\perp CD[/tex]
[tex]BC\perp CD[/tex]
Vậy thì MF song song với BC thì giao điểm ở đâu vậy bạn???

 

[Lành Cao Phong]

[tex]MF\perp CD[/tex]
[tex]BC\perp CD[/tex]
Vậy thì MF song song với BC thì giao điểm ở đâu vậy bạn???

Như bạn "Giúp mình" đã nói, đầu bài ở trên sai, nên mình sẽ sửa lại đầu bài cho đúng từ giao điểm N của MF và BC thành giao điểm N của ME và BC.
Hình vẽ:

Giải:
a)
Vì [TEX]\widehat{MED}=\widehat{EDF}=\widehat{DFM}=90°[/TEX]
[TEX]\Rightarrow MEDF[/TEX] là hình chữ nhật.
Vì [TEX]ME \perp AD[/TEX]
mà [TEX]AD \parallel BC[/TEX] (Tính chất hình vuông)
[TEX]\Rightarrow ME \perp BC[/TEX].
[TEX]\Rightarrow MN \perp BC[/TEX].
[TEX]\Rightarrow \widehat{MNC}=90°[/TEX].
mà [TEX]\widehat{NCM}=\widehat{MCF}=\frac{\widehat{NCF}}{2}=45°[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \triangle MNC[/TEX] vuông cân tại [TEX]N[/TEX].
[TEX]\Rightarrow MN=NC[/TEX]. (1)
Vì [TEX]\widehat{MNC}=\widehat{MFC}=\widehat{FCN}=90°[/TEX]
[TEX]\Rightarrow MFCN[/TEX] là hình chữ nhât. (2)
Từ (1) và (2)[TEX]\Rightarrow[/TEX] MFCN là hình vuông.
b)
Vì MFCN là hình vuông
[TEX]\Rightarrow FC=MF[/TEX] (3)
Vì MEDF là hình chữ nhật
[TEX]\Rightarrow ED=MF[/TEX] (4)
Từ (3) và (4) [TEX]\Rightarrow FC=ED[/TEX]

Ta có: [TEX]AE=AD-DE[/TEX]
[TEX]DF=DC-FC[/TEX]
mà [TEX]AD=DC[/TEX] (Tính chất hình vuông)
[TEX]FC=ED[/TEX] (Chứng minh ở trên)
[TEX]\Rightarrow AE=DF[/TEX]
Xét [TEX]\triangle ABE[/TEX] và [TEX]\triangle DAF[/TEX]:
[tex]\left.\begin{matrix} AB=DA \\\widehat{BAE}=\widehat{ADF}=90° \\ AE=DF \end{matrix}\right\}[/tex]
[TEX]\Rightarrow \triangle ABE=\triangle DAF[/TEX] [TEX](C-G-C)[/TEX]
(Theo suy đoán của mình thì đầu bài đúng phải là "Chứng minh [TEX]AF\perp BE[/TEX]" nên mình sẽ chứng minh điều đó)
Vì [TEX]\triangle ABE=\triangle DAF[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{DFA}[/TEX].
mà [TEX]\widehat{DFA}+\widehat{EAF}=90°[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \widehat{AEB}+\widehat{EAF}=90°[/TEX].
[TEX]\Rightarrow BE\perp AF[/TEX].
c)
Ta có: [TEX]BN=BC-NC[/TEX]
mà [TEX]BC=CD[/TEX]
và [TEX]NC=FD[/TEX]
[TEX]\Rightarrow BN=DC-FC=DF[/TEX].
mà [TEX]DF=EM[/TEX]
[TEX]\Rightarrow BN=EM[/TEX].
Xét [TEX]\triangle EMF[/TEX] và [TEX]\triangle BNM[/TEX]:
[tex]\left.\begin{matrix} EM=BN \\\widehat{EMF}=\widehat{BNM}=90° \\ MF=MN \end{matrix}\right\}[/tex]
[TEX]\Rightarrow \triangle EMF=\triangle BNM[/TEX] [TEX](C-G-C)[/TEX]
(Phần thứ hai mình chưa chứng minh được, nhưng dự đoán của mình là có thể chứng minh được BM, AF, CE là ba đường cao của tam giác BEF, từ đó chúng đồng quy)

 

[Lành Cao Phong]

Chứng minh các đường kia là đường cao cũng giống như chứng minh BE vuông góc với AF ở ý b thôi, nhưng mà chứng minh dài quá nên mình không ghi, lúc trình bày trong vở bạn cứ ghi là chứng minh tương tự là được