Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB,AC và cắt tuyến AEF( EF không đi qua O, B và C là các tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, DE, DF lần lượt cắt AO tại M và N. CMR:
1) Tam giác CEF đồng dạng với tam giác CMN.
2) OM=ON
1) +) Dễ dàng chứng minh được AO _l_ BC và BC _l_ CD => AO//CD
[tex]\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{CDE}[/tex] ( 2 góc đồng vị)
Lại có: [tex]\widehat{CDE}=\widehat{ACE}[/tex] ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CE của đtròn tâm O)
[tex]\Rightarrow \widehat{EMA}=\widehat{ECA}[/tex]
=> Tứ giác EMCA nội tiếp
[tex]\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{AMC}\Rightarrow \widehat{CEF}=\widehat{CMN}[/tex] (1)
+) Tứ giác EMCA nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{CAM}=\widehat{CEM}[/tex]
hay [tex]\widehat{CAN}=\widehat{CED}[/tex]
Lại có: [tex]\widehat{CED}=\widehat{CFD}[/tex] ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đtròn tâm O)
[tex]\Rightarrow \widehat{CAN}=\widehat{CFN}[/tex]
=> Tứ giác CAFN nội tiếp
[tex]\Rightarrow \widehat{CFA}=\widehat{CNA}[/tex]
hay [tex]\widehat{CFE}=\widehat{CNM}[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác CEF đồng dạng với tam giác CMN (g-g) (đpcm)
2) Vì AO// CD ( Chứng minh trên) nên MN//CD => Tứ giác MNDC là hình thang
[tex]\Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{MCD}[/tex] ( cùng phụ với [tex]\widehat{CMNN}[/tex] ) (3)
Tứ giác EFDC nội tiếp ( 4 điểm E,F,D,C cùng thuộc đtròn tâm O)
[tex]\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{CDF}[/tex] ( góc ngoài ở đỉnh = góc trong của đỉnh đối)
Lại có $\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{AMC}$
[tex]\Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{CDN}[/tex] (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{MCD}=\widehat{CDN}$
=> Tứ giác MNDC là hình thang cân
Vì O thuộc đường trung trực của CD ( dễ chứng minh) => O cũng thược đường trung trực của MN => OM=ON (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
