Hình học nâng cao lớp 9

[embecuao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính BC. Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho AB > AC. Từ A, vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Từ H, vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC).
a) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF.
b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F).
Chứng minh AP2 = AE.AB. Suy ra APH là tam giác cân
c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm cùa AD và đường tròn (O) (K khác A). Chứng minh AEFK là một tứ giác nội tiếp.
d) Gọi I là giao điểm của KF và BC. Chứng minh IH2 = IC.ID

Bài 2:
Cho góc nhọn xOy, trên Ox lấy điểm A cố định. trên Oy lấy điểm B lưu động sao cho hình chiếu H của B lên Ox nằm trong đoạn OA(H khác O và A). gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Đường thẳng qua H và vuông góc AI cắt AB tại K.
Chứng minh rằng O, K, H, B nằm trên đường tròn.
Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn qua điểm cố định.

Bài 3:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.
d) Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.

Bài 4:
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là trung điểm AB và AC.
a) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác DHB và ECH.
b) Gọi F là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác DHB và ECH. Chứng minh rằng HF đi qua trung điểm của DE.
c) đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ADE đi qua F.

Bài 5 :
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, AHB, AHC.Chứng minh rằng :
AI vuông góc JK.
Tứ giác BJKC nội tiếp đường tròn.

 

[angleofdarkness]

1/

a/ Tứ giác AEHF là h.c.nhật vì có 3 góc vuông \Rightarrow góc HAF = góc EFA \Rightarrow góc OAC = góc OCA.
\Rightarrow góc OCA + góc AFE = $90^O$ \Rightarrow OA vuông góc È.

b/ Có OA vuông góc PQ \Rightarrow sđ cung PA = sđ cung AQ.

\Rightarrow $\Delta$APE đồng dạng $\Delta$ABP \Rightarrow $AP^2=AE.AB.$

Mà $AH^2=AE.AB$ ($\Delta$HAB vuông ở H có HE là đường cao).

\Rightarrow $AP=AH$ \Rightarrow $\Delta$APH cân ở A.

 

[angleofdarkness]

1/

c/ Ta có DE.DF = DC.DB; mà DC.DB = DK.DA \Rightarrow DE.DF = DK.DA.

\Rightarrow $\Delta$DFK đồng dạng $\Delta$DAE \Rightarrow góc DKF = góc DEA

\Rightarrow tứ giác AEFK nội tiếp.

d/ Ta có $AF.AC = AH^2; AK.AD = AH^2$ ($\Delta$ AHC vuông ở H có đường cao HF và $\Delta$ AHD vuông ở H có đường cao HK)

\Rightarrow AK.AD = AF.AC.

\Rightarrow tứ giác AFCD nội tiếp \Rightarrow IC.ID = IF.IK \Rightarrow $IH^2=IC.ID$ (vì $IH^2=IF.IK$)

 

[angleofdarkness]

3/

a) EAO = EMO =90° \Rightarrow AEMO là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác APMQ có góc AQM = góc QAP = góc APM =90° nên là h.c.nhật.

b) Tứ giác APMQ là H.c.nhật nên I cũng là trung điểm AM.

E là giao của tiếp tuyến tại A và M của (O) nên OE là trung trực AM \RightarrowOE đi qua I hay O,I,E thẳng hàng.

c)ΔEAO đồng dạng ΔMPB(g.g) vì

góc A = góc P = 90°
góc AOE = góc PBM = 1/2 sđ cung(AM);

\Rightarrow $\dfrac{MP}{AE} = \dfrac{PB}{AO}.$

\Rightarrow $MP = \dfrac{PB.AE}{R}.$

ΔPBK đồng dạng Δ ABE(g.g) \Rightarrow $\dfrac{PK}{AE} = \dfrac{PB}{AB}$ \Rightarrow $PK = \dfrac{PB.AE}{2R}.$

Do PK = 0.5 MP nên K là trung điểm MP

 

[angleofdarkness]

3/

d) Đặt AP = x \Rightarrow OP = |R-x|

Theo định lí Pytagore: MP = $\sqrt{2Rx-x^2}$ \Rightarrow $S_{APMQ}=S=MP.x.AP$=x. $\sqrt{2Rx-x^2}$

Áp dụng BĐT Cô si thì $S$ \leq $\dfrac{x^2+2Rx -x^2}{2}=Rx$ \leq $\dfrac{R^2+x^2}{2}.$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x = R

khi đó S = R² và M nằm trên giao điểm đường thẳng qua O vuông góc AB với (O)

 

[angleofdarkness]

5/

$\Delta$AEC có góc ngoài là AEB = góc KAC + góc ACE.

Mà góc BAE = góc KAH; góc ACB = góc BAH \Rightarrow góc AEB = góc BAE.

\Rightarrow $\Delta$ABE cân ở B và có BJ là p.giác

\Rightarrow BJ vuông góc với AE.

Tương tự có CI vuông góc AD \Rightarrow AI vuông góc với JK (I là trực tâm $\Delta$AJK)

 

[angleofdarkness]

4/

a) Ta có DE//BC (1)
Gọi O và O' là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ BDH và $\Delta$ CHE.

Xét $\Delta$ ABH có HD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên HD = 0.5AB.

\Rightarrow DH=DB; mặt khác OH=OB \Rightarrow DO là dường trung trực của HB

\Rightarrow DO vuông góc với BC (2)

Từ (1) và (2) \Rightarrow DO vuông góc với DE \Rightarrow DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Tương tự ta cũng chứng minh được DE là tiếp tuyến của đường tròn (O' ).

b) Gọi K là giao điểm của HF và DE.

Có $\Delta$ KDF đồng dạng với $\Delta$ KHD (g.g) \Rightarrow $\dfrac{KD}{KH}= \dfrac{KF}{KD}$ \Rightarrow $KD^2 = KF.KH$ (3)

Tương tự \Rightarrow $KE^2 = KF.KH$ (4)

Từ (3) và (4) \Rightarrow KD = KE.

 

[angleofdarkness]

c) Ta có góc DBH = góc DHB; góc ECH = góc EHC

mà góc DBH + góc ECH + góc BAC = 180 độ;

góc DHB + gócEHC + gócDHE = 180độ. \Rightarrow góc DHE = góc BAC (*)

lại có góc DHF = góc KDF ( cùng chắn một cung DF)

góc FHE = góc KEF ( cùng chắn cung EF)

\Rightarrow góc DHF + góc FHE = góc KDF + góc KEF

hay góc DHE = góc KDF + góc KEF @};-

Từ (*) và @};- => góc KDF + góc KEF = góc BAC.

mà góc KDF + góc KEF + góc DFE = 180 độ

\Rightarrow góc BAC + góc DFE = 180 độ \Rightarrow tứ giác ADFE nội tiếp

hay đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua F.