Toán 9 HÌnh học 9

[Psyche]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM căt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt BM tại F. Tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. Chứng minh rằng:
a, EFMK là tứ giác nội tiếp.
b, AI^2 = IM.IB
c, BAF là tam giác cân
d, AKFH là hình thoi

 

[cỏ_____]

a) Ta có : góc AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> góc KMF = 900 (vì là hai góc kề bù).
góc AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> góc KEF = 900 (vì là hai góc kề bù).
=> góc KMF + ÐKEF = 1800 . Mà góc KMF và góc KEF là hai góc đối của tứ giác EFMK
=> EFMK là tứ giác nội tiếp.


b) Ta có góc IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => tam giác AIB vuông tại A có AM vuông góc IB ( theo trên).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB.
c) Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => góc IAE = góc MAE => AE = ME
=> góc ABE =góc MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
=> BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có góc AEB = 900 => BE vuông góc AF
hay BE là đường cao của tam giác ABF (2).
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .
d) BAF là tam giác cân.
Tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến
=> E là trung điểm của AF. (3)
Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4)
Mà AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác góc HAK (5)
Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).
Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).