cho tam giác ABC, M là một điểm nằm trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt BC, CA, AB tại P,R,Q
a)chứng minh rằng MA.BC+MB.CA+MC.AB>= 4(SABC)
b) xác định vị trí của M để SPQR lớn nhất
gợi ý mình với ( chú thích S: diện tích)
Giai:
b, ý này kinh điển
Ta tính
[tex]S_{PRQ}=S_{ABC}-S_{AQR}-S_{BPQ}-S_{CRQ}[/tex]
Dat
[tex]\dfrac{AQ}{QB}=x[/tex], [tex]\dfrac{BP}{PC}=y[/tex], [tex]\dfrac{CR}{RA}=z[/tex]
Ta co:
[tex]\dfrac{AQ}{AB}=\dfrac{x}{x+1}[/tex]
[tex]\dfrac{AR}{AC}=\dfrac{1}{z+1}[/tex]
[tex]\dfrac{S_{AQR}}{S_{ACB}}=\dfrac{AQ.AR}{AB.AC}=\dfrac{x}{(x+1)(z+1)}[/tex]
Tuong tu:
[tex]\dfrac{S_{BPQ}}{S_{BAC}}=\dfrac{y}{(y+1)(x+1)}[/tex]
[tex]\dfrac{S_{CRP}}{S_{CBA}}=\dfrac{z}{(z+1)(y+1)}[/tex]
Suy ra
[tex]\dfrac{S_{AQR}+S_{BPQ}+S_{CRP}}{S_{ABC}}=\dfrac{x}{(x+1)(z+1)}+\dfrac{y}{(y+1)(x+1)}+\dfrac{z}{(z+1)(x+1)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{S_{AQR}+S_{BPQ}+S_{CRP}}{S_{ABC}}=\dfrac{xy+yz+zx+x+y+z}{(x+1)(y+1)(z+1)}[/tex]
[tex]\dfrac{S_{PRQ}}{S_{ABC}}=\dfrac{xyz+1}{(x+1)(y+1)(z+1)}[/tex]
Lai co:
Theo dinh ly Ceva [tex]xyz=1[/tex]
https://vi.wikipedia.org/wiki/Định_lý_Ceva
Suy ra:
[tex]\dfrac{S_{PRQ}}{S_{ABC}}=\dfrac{1+1}{1+xy+yz+zx+x+y+z+1}[/tex]
Do
[tex]xy+yz+zx+x+y+z\geq 6\sqrt[6]{xyz}=6[/tex]
nen
[tex]\dfrac{S_{PRQ}}{S_{ABC}}\leq \dfrac{2}{8}\Rightarrow S_{PRQ}\leq \dfrac{1}{4}.S_{ABC}[/tex]
dpcm
Dau = khi M la trong tam.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
