Toán Hình học 9

[tocquan161]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Hạ các đường cao AD, BE của tam giác cắt nhau tại H và kẻ đường kính CF của (O)
a/ Chứng minh A,E,D,B nằm trên một đường tròn
b/ Chứng mình tứ giác CDHE nội tiếp
c/ Chứng minh tứ giác AHBF là hình bình hành
d/ Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB.
Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE không đổi

2. Từ điểm A nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN. Gọi I là trung điểm của MN
a/ CMR: $AB^2=AM.AN$
b/ CMR: tứ giác ABIC nội tiếp
c/ Gọi T là giao điểm của BC và AI
CMR: $\frac{IB}{IC}=\frac{TB}{TC}$

 

[leminhnghia1]

Giải:

2,
a, $\Delta ABM \sim \Delta ANB$ (g-g)

Vì $\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$( cùng chắn một cung); $\widehat{BAM}$ chung

$\Longrightarrow AB^2=AM.AN$
b, OI vuông góc AN (vì I là trung điểm dây MN)

Tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp vì $\widehat{AIO}+\widehat{ACO}=180^0$
TT: tứ giác ABOC nội tiếp

$\Longrightarrow$ năm điểm B,I,O,C cùng thuộc một đường tròn

$\Longrightarrow$ tứ giác BIAC nội tếp.
c, $AB=AC \Longrightarrow$ Cung AB=cung AC

$\Longrightarrow \widehat{BIT}=\widehat{CIT}$ (cùng chắn 2 cung có số đo bằng nhau)

$\Longrightarrow IT$ là phân giác $ \widehat{BIC}$

theo tính chất phân giác: $\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{TB}{TC}$

 

[iceghost]

a) Gọi $I$ là trung điểm $BC$
Xét $\triangle{ABE}$ vuông tại $E$ có :
$EI$ là đường trung tuyến
$\implies EI = AI = BI =\dfrac12AB$
Tương tự với $\triangle{ABD}$
$\implies DI = AI = BI = \dfrac12AB$
$\implies$ đpcm

b) Xét tứ giác $CDHE$ có :
$\hat{D} + \hat{E}= 180^o$
$\implies$ đpcm

c) Do $CF$ là đường kính của $(O)$
$\implies \widehat{CBF} = \widehat{CAF} = 90^o$
$\implies \left\{ \begin{array}{l} {}
CB \perp BF \\
CA \perp AF
\end{array} \right. \\
\implies \left\{ \begin{array}{l} {}
AH // BF \ (CB \perp AH) \\
BH // AF \ (CA \perp BH)
\end{array} \right.$
$\implies$ đpcm

d) Kẻ đường kính $AM$ của $(O)$
$\implies \widehat{ACM} = \widehat{ABM} = 90^o$
CM như câu b $\implies BHCM$ là hbh
$\implies CH = BM \\
\qquad \qquad = \sqrt{AM^2 - AB^2} = \sqrt{4R^2-AB^2} = \mathrm{const}\\
\implies CH = \mathrm{const}$
Dễ thấy $CH$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle{CDE}$
$\implies$ đpcm