Toán [Hình học 9]Chứng minh một biểu thức giá trị không đổi

[Quân Nguyễn 209]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định trong (O). Qua M kẻ 2 dây AB,CD vuông góc với nhau. Chứng minh:
a)[TEX]AM^2 + BM^2 + CM^2 + DM^2[/TEX] có giá trị không đổi
b)[TEX]AB^2 + CD^2[/TEX] có giá trị không đổi

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

a) Kẻ đường kính $AK$.
Dễ thấy $CD//BK$ mà tứ giác $CDKB$ nt
$\Rightarrow CDKB$ là hình thang cân.
Do đó $\widehat{BCD}=\widehat{KDC}$
Gọi $C'$ là điểm đối xứng với $C$ qua $M$.
Khi đó $\widehat{KDC}=\widehat{BCD}=\widehat{BC'C}$.
Do đó: $C'B//KD$ mà $C'D//BK$ do đó:
$C'DKB$ là hbh.
$\Rightarrow BK=C'D$.
Hay $MD=CM+BK$
Ta có:
$AM^2+BM^2+CM^2+DM^2
\\=(AM+BM)^2-2.AM.BM+CM^2+DM^2
\\=AB^2+CM^2-2.CM.MD+DM^2
\\=AB^2+(DM-CM)^2
\\=AB^2+BK^2
\\=AK^2
\\=4R^2$
b) Muốn $AB^2+AC^2$ cố định thì $CM.MD$ phải cố định(Cái này biến đổi thôi)
Dễ thấy Phương tính của điểm $M$ đối với đường tròn $O$ là $CM.MD$ mà $M,O$ cố định nên: $CM.MD=R^2-OM^2$ không đổi.