Toán [Hình học 9] Các bài toán đường tròn hay gặp trong lớp 9

[Hiếu Xuân Trần]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1. Đường tròn (O) bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại M. Kẻ đường kính MN của (O). Đường thẳng AN cắt BC tại P. Chứng minh BC và MN có chung trung điểm
Bài 2. Cho tam giác ABC có M,N theo thứ tự là tiếp điểm của BC với đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A. Chứng minh BM=CN
Bài 3. Cho tam giác ABC có BC=a,AB=c,AC=b. Gọi (I) đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng vuông góc CI tại I cắt AC,AB theo thứ tự tại M,N. Chứng minh [TEX]\frac{IA^2}{bc}+\frac{IB^2}{ac}+\frac{IC^2}{ab}=1[/TEX]
Bài 4. Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh AB,AC tại M,N. Chứng minh :
a)[TEX]MN^2=AM^2+AN^2=AM..AN[/TEX]
b)[TEX]\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1[/TEX]

P/s: Mih mới học chương trình HK1 lớp 9 nên bạn nào có tâm và thời gian thì giúp mih chứng minh các tính chất của tứ giác nội tiếp trc khi các bạn sử dụng nhé :v Thanks nhìu
mỏi tay ghê, đánh ko nhanh như VMF ='(

 

[Thần mộ 2]

Bài 4/
a/Áp dụng định lý cos:
$c^2=a^2+b^2-2ab.cos \gamma$
Suy ra $MN^2=AM^2+AN^2-2.AM.AN.cos 60^o$
Suy ra đpcm.
b/Gọi $V,T$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$
Đặt $AB=AC=x,MV=y,NT=z$
Suy ra $(y+z)^2=(\dfrac{x}{2}-y)^2+(\dfrac{x}{2}-z)^2-(\dfrac{x}{2}-y)(\dfrac{x}{2}-z)$
$\Rightarrow \dfrac{x^2}{4}=3yz+\dfrac{y(y+z)}{2}$
$\dfrac{AB}{MB}+\dfrac{AC}{NC}=3$
Suy ra đpcm.
Bài 3.Bài này lẽ ra có thể làm đơn giản.Nhưng bác mới học hết HK1 lớp 9 nên chắc phù hợp cách này.
Dễ dàng CM được:
$\widehat{NMC}=\widehat{CNM} \Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{BNM}$
$\widehat{AIB}=180^o-(\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2})$
Dễ dàng chứng minh được $\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=\widehat{AIB}-\widehat{C}$
Suy ra $\widehat{AIB}=90^o+\dfrac{\widehat{C}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{BNM}=\widehat{AIB}$
$\Delta AMI$ ~ $\Delta INB$ (cùng ~ $\Delta INB$
Suy ra $\dfrac{AM}{MI}=\dfrac{IN}{NB}$
Suy ra $AM.NB=IN^2=IM^2$
Đặt $AM=x,BN=y$
Dễ dàng chứng minh được $\dfrac{IA^2}{bc}=\dfrac{x}{b}$
CMTT với $IB^2$
Dễ dàng chứng minh $IC^2=(b-x)(c-y)-xy=ab-by-ax$
Chia 2 vế cho $ab$ sẽ suy ra đpcm.
Bài 2 và bài 1 mình không vẽ được hình.Vẽ bằng máy tính khó nhìn quá.Bạn có thể cho hình vẽ không?

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 4/
a/Áp dụng định lý cos:
$c^2=a^2+b^2-2ab.cos \gamma$
Suy ra $MN^2=AM^2+AN^2-2.AM.AN.cos 60^o$
Suy ra đpcm.
b/Gọi $V,T$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$
Đặt $AB=AC=x,MV=y,NT=z$
Suy ra $(y+z)^2=(\dfrac{x}{2}-y)^2+(\dfrac{x}{2}-z)^2-(\dfrac{x}{2}-y)(\dfrac{x}{2}-z)$
$\Rightarrow \dfrac{x^2}{4}=3yz+\dfrac{y(y+z)}{2}$
$\dfrac{AB}{MB}+\dfrac{AC}{NC}=3$
Suy ra đpcm.
Bài 3.Bài này lẽ ra có thể làm đơn giản.Nhưng bác mới học hết HK1 lớp 9 nên chắc phù hợp cách này.
Dễ dàng CM được:
$\widehat{NMC}=\widehat{CNM} \Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{BNM}$
$\widehat{AIB}=180^o-(\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2})$
Dễ dàng chứng minh được $\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=\widehat{AIB}-\widehat{C}$
Suy ra $\widehat{AIB}=90^o+\dfrac{\widehat{C}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{BNM}=\widehat{AIB}$
$\Delta AMI$ ~ $\Delta INB$ (cùng ~ $\Delta INB$
Suy ra $\dfrac{AM}{MI}=\dfrac{IN}{NB}$
Suy ra $AM.NB=IN^2=IM^2$
Đặt $AM=x,BN=y$
Dễ dàng chứng minh được $\dfrac{IA^2}{bc}=\dfrac{x}{b}$
CMTT với $IB^2$
Dễ dàng chứng minh $IC^2=(b-x)(c-y)-xy=ab-by-ax$
Chia 2 vế cho $ab$ sẽ suy ra đpcm.
Bài 2 và bài 1 mình không vẽ được hình.Vẽ bằng máy tính khó nhìn quá.Bạn có thể cho hình vẽ không?

Bác @Thần mộ 2 ới bác chứng minh định lý cos đi chứ lớp 9 HK1 hình như chưa đc áp dụng :v

 

[Thần mộ 2]

Bác @Thần mộ 2 ới bác chứng minh định lý cos đi chứ lớp 9 HK1 hình như chưa đc áp dụng :v

Bác áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông có được bằng cách kẻ đường cao tương ứng với một trong hai cạnh kề góc γ và đơn giản bằng nhị thức.Sẽ có ngay định lý cos trong tam giác nhọn.