Toán [Hình học 9] Bất đẳng thức diện tích

[Quân Nguyễn 209]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích bằng 1. Dựng ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân BCF, CAE, ABD lần lượt nhận BC,AC,AB làm cạnh huyền. Chứng minh S(DEF)>=2

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

mình xin CM như sau:
Áp dụng định lí ptoleme cho tứ giác ABFC nội tiếp(bạn tự CM nhé) ta có:
AF.CB=AC.BF+AB.CF=CF(AB+AC) (vì CF=BF gt)
Mặt khác ta có:
AB=AD.căn2;Ac=AE.căn2
[tex]\Rightarrow AD+AE=\frac{1}{\sqrt{2}}AB+\frac{1}{\sqrt{2}}AC=\frac{1}{\sqrt{2}}(AB+AC) \\\Leftrightarrow ED=\frac{1}{\sqrt{2}}(AB+AC)[/tex]
Ta chứng minh :[tex]AF\perp ED[/tex]
Ta có: tứ giác ABFC nội tiếp (mình đã nhờ các bạn tự CM ở trên)
[tex]\Rightarrow \widehat{CBF}=\widehat{CAF}\\ma- \widehat{CBF}=45^{\circ}(\Delta CBF- vuong-can) \Rightarrow \widehat{CAF}=45^{\circ}[/tex]
mà góc CAE=45 độ (tg CAE vuông cân)
nên [tex]AF\perp ED[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{DEF}=\frac{1}{2}AF.ED=\frac{1}{2}.\frac{BF(AB+AC)}{BC}.\frac{1}{\sqrt{2}}(AB+AC)=\frac{1}{4}(AB+AC)[/tex]
(vì tg FCB vuông cân nên [tex]BF=\frac{1}{\sqrt{2}}BC[/tex])
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]AB+AC\geq 2\sqrt{AB.AC}=2\sqrt{2S_{ABC}}=2\sqrt{2.1}=2\sqrt{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{DEF}=\frac{1}{4}(AB+AC)\geq \frac{1}{4}.2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
(hơi khác đề nhưng chắc do mình sai chỗ nào mọi người sủa họ mình nha)
dấu"=" xảy ra khi AB=AC

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

hình đây nhé các bạn mình nãy quên đăng@@

 

[Quân Nguyễn 209]

mình xin CM như sau:
Áp dụng định lí ptoleme cho tứ giác ABFC nội tiếp(bạn tự CM nhé) ta có:
AF.CB=AC.BF+AB.CF=CF(AB+AC) (vì CF=BF gt)
Mặt khác ta có:
AB=AD.căn2;Ac=AE.căn2
[tex]\Rightarrow AD+AE=\frac{1}{\sqrt{2}}AB+\frac{1}{\sqrt{2}}AC=\frac{1}{\sqrt{2}}(AB+AC) \\\Leftrightarrow ED=\frac{1}{\sqrt{2}}(AB+AC)[/tex]
Ta chứng minh :[tex]AF\perp ED[/tex]
Ta có: tứ giác ABFC nội tiếp (mình đã nhờ các bạn tự CM ở trên)
[tex]\Rightarrow \widehat{CBF}=\widehat{CAF}\\ma- \widehat{CBF}=45^{\circ}(\Delta CBF- vuong-can) \Rightarrow \widehat{CAF}=45^{\circ}[/tex]
mà góc CAE=45 độ (tg CAE vuông cân)
nên [tex]AF\perp ED[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{DEF}=\frac{1}{2}AF.ED=\frac{1}{2}.\frac{BF(AB+AC)}{BC}.\frac{1}{\sqrt{2}}(AB+AC)=\frac{1}{4}(AB+AC)[/tex]
(vì tg FCB vuông cân nên [tex]BF=\frac{1}{\sqrt{2}}BC[/tex])
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]AB+AC\geq 2\sqrt{AB.AC}=2\sqrt{2S_{ABC}}=2\sqrt{2.1}=2\sqrt{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{DEF}=\frac{1}{4}(AB+AC)\geq \frac{1}{4}.2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
(hơi khác đề nhưng chắc do mình sai chỗ nào mọi người sủa họ mình nha)
dấu"=" xảy ra khi AB=AC

Cho mình hỏi tại sao AF=BF(AB+AC)/BC vậy, mình chưa hiểu lắm nhờ bạn giảng lại giùm
P/s: mih mới học lớp 8 chưa bik nhìu về các hệ thức trong tứ giác nội tiếp

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Cho mình hỏi tại sao AF=BF(AB+AC)/BC vậy, mình chưa hiểu lắm nhờ bạn giảng lại giùm
P/s: mih mới học lớp 8 chưa bik nhìu về các hệ thức trong tứ giác nội tiếp

bạn chú í đoạn đầu mình dùng đinh lí ptoleme: tổng của tích 2 cặp cạnh đối diện của một tứ giác nội tiếp = tích 2 đường chéo của tứ giác đó
nên: AF.CB=AC.BF+AB.CF=CF(AB+AC)
ngắn gọn: AF.BC=CF(AB+AC)
mà CF=BF(tg BCF vuông cân)
nên: AF.BC=BF(AB+AC)
chia 2 vế cho BC là ra cái mà bạn hỏi

còn về vấn đề của bạn:
- khi sử dụng đinh lí ptoleme phải cm mà mình chưa CM, sorry
-định lí này dùng với lớp chuyên toán thi vào 10 thì mới có, bạn lại học lớp 8 nên không hieur cũng đúng