Toán Hình 9

[sieuquay127]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm). Gọi E là giao điểm của BC và OA. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P,Q. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M và N.
Chứng minh PM + QN > MN
Mong các bác nào vẽ hình rồi giải giúp em với

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Dễ thấy $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}$
Mặt khác theo tính chất tiếp tuyến:
$\widehat{POB}=\widehat{POK},\widehat{KOQ}=\widehat{QOC}$.
Do đó $\widehat{POB}=\widehat{QOA}$.
Mà $\widehat{POB}+\widehat{BPO}=90^0, \widehat{QON}+\widehat{QOA}=90^0 \\\Rightarrow \widehat{BPO}=\widehat{QON}$.
Do đó $\triangle MPO \sim \triangle NOQ \\\Rightarrow OM.ON=MP.NQ$.
Mặt khác dễ dàng cm: $OM=ON \Rightarrow OM^2=NQ.MP$.
Ta có: $PM+NQ \geq 2\sqrt{PM.NQ}=2OM=MN$(dpcm)