Cho điểm A ở bên ngoài đường tròn(O). Kẻ tiếp tuyến AB,AC(B,C là tiếp điểm).M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC( M khác B,C).Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB,AC,BC. H là gđiểm của MB và DF ,K là giao điểm của MC và EF.CM:
a) tứ giác MHFK nội tiếp
b) MF^2=MD.ME
c)MF vuông góc với HK
d)DF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC
Tia AM cắt (O) tại điểm thứ 2 là N
a) BDMF là tứ giác nội tiếp ( có tổng số đo 2 góc đối là 180[tex]^{o}[/tex])
=>[tex]\widehat{DBM}=\widehat{DFM}[/tex] ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung DM)(1)
Xét (O) có: [tex]\widehat{DBM}=\widehat{BNA}[/tex] (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM)(2)
Từ (1) và (2) => [tex]\widehat{HFM}=\widehat{BNA}[/tex]
Tương tự có : [tex]\widehat{MFK}=\widehat{CNA}[/tex]
=>[tex]\widehat{HFM}+\widehat{MFK}=\widehat{BNA}+\widehat{CNA}[/tex] hay [tex]\widehat{HFK}=\widehat{BNC}[/tex](3)
BMCN là tứ giác nội tiếp ( có 4 điểm cũng thuộc (O)) =>[tex]\widehat{BNC}+\widehat{BMC}=180^{o}[/tex](4)
Từ (3) và (4) =>[tex]\widehat{HMK}+\widehat{HFK}=180^{o}[/tex]
=> đpcm
b)BMCN là tứ giác nội tiếp =>[tex]\widehat{BCM}=\widehat{BNM}[/tex] ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)(5)
Theo chứng minh phần a) có : [tex]\widehat{HFM}=\widehat{BNA}(6)
FMEC là tứ giác nội tiếp =>[tex]\widehat{FCM}=\widehat{FEM}[/tex] ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung FM)(7)
Từ (5) , (6) và (7)=> [tex]\widehat{DFM}=\widehat{FEM}[/tex]
Tương tự có : [tex]\widehat{FDM}=\widehat{EFM}[/tex]
Chứng minh [tex]\Delta MDF\sim \Delta MFE[/tex] (gg)
=> đpcm
c)MHFK là tứ giác nội tiếp (theo a)) => [tex]\widehat{HFM}=\widehat{HKM}[/tex]( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HM)(8)
Từ (5) và (6) =>[tex]\widehat{BCM}=\widehat{HFM}[/tex] (9)
Từ (8) và (9) => [tex]\widehat{BCM}=\widehat{HLM}[/tex] Hai góc này là 2 góc đồng vị
=> HK// BC . Mà BC vuông góc với MF
=> đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
