Toán hình 9

[Conan Nguyễn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) đường cao AH (H thuộc BC) cắt (O) tại D. C/m:
[tex]AB^{2}+BD^{2}+DC^{2}+CA^{2}=8R^{2}[/tex]

 

[iceghost]

Bổ đề : Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến cạnh nối hai đỉnh còn lại (bạn đọc tự chứng minh)
Áp dụng : Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $K$ là hình chiếu của $O$ trên $AC$. Theo bổ đề trên thì :
$$BH = 2OK \\
\implies BH^2 = 4OK^2$$
Lại có $AC^2 = 4AK^2$. Áp dụng định lý Pytago :
$$BH^2 + AC^2 = 4(OK^2 + AK^2) = 4OA^2 = 4R^2$$
Tương tự ta cũng có : $CH^2 + AB^2 = 4R^2$
Cộng vế theo vế và áp dụng $BH = BD$, $CH = CD$ ta có đpcm