a) Xét tam giác [tex]\Delta MCA[/tex] và [tex]\Delta MBC[/tex] :
[tex]\widehat{M}[/tex] chung
[tex]\widehat{ACM} = \widehat{ABC}[/tex] ( cùng chắn cung CA)
=> [tex]\Delta MCA \sim \Delta MBC[/tex]
=> [tex]\frac{MC}{MB} = \frac{MA}{MC} => MC^{2}=MA.MB[/tex]
b) Ta có : [tex]\widehat{MCA} = 90^{\circ}[/tex] tính chất đường tiếp tuyến)
[tex]\widehat{MKO} = 90^{\circ}[/tex] ( tính chất đường kính và dây cung)
=> MCOK nội tiếp đường tròn (1)
Tương tự ta có: [tex]\widehat{MCO} = 90^{\circ}[/tex]
[tex]\widehat{MDO} = 90^{\circ}[/tex]
=> MCOD nội tiếp đường tròn (2)
Từ (1) và (2) => C,O,K,D,M cùng thuộc 1 đường tròn
c) có [tex]MC^{2}[/tex] = [tex]OM^{2}[/tex] - [tex]OC^{2}[/tex] = [tex](2R)^{2}[/tex] - [tex]R^{2}[/tex] = [tex]3R^{2}[/tex] ; ad chứng minh trên ta có:
[tex]MC^{2}[/tex] = MA.MB = MA.(MA+AB) = MA.(MA+[tex]R\sqrt{3}[/tex] ) = [tex]MA^{2}[/tex]+ [tex]MA.R\sqrt{3}[/tex]
=> [tex]3R^{2}[/tex]= [tex]MA^{2}[/tex] + MA.[tex]R.\sqrt{3}[/tex] => 12R² = 4[tex]MA^{2}[/tex] + 4.MA.[tex]R.\sqrt{3}[/tex] + [tex]3R^{2}[/tex] - [tex]3R^{2}[/tex] = (2MA+)[tex]R.\sqrt{3}[/tex]² - [tex]3R^{2}[/tex]
=> (2MA+[tex]R.\sqrt{3}[/tex])² = 15[tex]R^{2}[/tex] => 2MA + [tex]R.\sqrt{3}[/tex] = R√15 => MA = [tex]R.\frac{\sqrt{15-\sqrt{3}}}{2}[/tex]
d) dễ chứng minh OM vuông góc với CD tại H, hệ thức lượng và chứng minh trên:
MH.MO = [tex]MC^{2}[/tex] = MA.MB => [tex]\frac{MH}{MB} = \frac{MA}{MO}[/tex]; và có góc giữa OMB chung
=> tgiác MAH đồng dạng với tgiác MOB => góc MHA = góc MBO
mà góc MHA + góc OHA = 180o => góc MBO + góc OHA = 180o
=> tứ giác ABOH nội tiếp
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
