cho hình thoi ABCD, có $\hat{A}$=$120^0$. Tia Ax tạo với AB một $\hat{BAD}$=$15^0$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh: $\dfrac{1}{AN^2}$ + $\dfrac{1}{AM^2}$=$\dfrac{4}{3AB^2}$ Ấn nút "sửa bài" để xem cách gõ Latex em nhé!
Kẻ đường thẳng vuông góc với AN tại A cắt CD ở K ; AH vuông góc với CD $\hat{KAD}$=$120^0$-$15^0$-$90^0$=$15^0$=$\hat{BAM}$ Xét $\Delta$BAM và $\Delta$DAK có: $\hat{BAM}$=$\hat{KAD}$ ; AB=AD ; $\hat{ABM}$=$\hat{ADK}$ \Rightarrow$\Delta$BAM=$\Delta$DAK (g.c.g)\RightarrowAM=AK \Rightarrow$\dfrac{1}{AM^2}$+$\dfrac{1}{AN^2}$= $\dfrac{1}{AK^2}$ +$\dfrac{1}{AN^2}$=$\dfrac{1}{AH^2}$ (hệ thức lượng trong $\Delta$AKM vuông ở A) Mà $AH^2$=$\dfrac{3}{4}AB^2$\Rightarrow$\dfrac{1}{AH^2}$=$\dfrac{4}{3}AB^2$ \Rightarrowđpcm
