Hình 9 thi HSG

[nuthanbongtoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (B,C là các tiếp điểm). Từ 1 điểm M thuộc cung BC nhỏ kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt AB và AC ở E và F. BC cắt OE, OF ở P,Q
a, Cm tứ giác PQFE nội tiếp.
b, Cm $\frac{PQ}{EF}$ ko đổi khi M di chuyển trên cung BC.

 

[congchuaanhsang]

a, Ta có: $\hat{EBP}$=$\frac{1}{2}$ sđ cung BC (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
$\hat{BOE}$=$\hat{EOM}$ ; $\hat{MOF}$=$\hat{FOC}$(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\Rightarrow$\hat{EOF}$=$\frac{1}{2}$$\hat{BOC}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung BC
\Rightarrow$\hat{EOF}$=$\hat{EBP}$ hay $\hat{POQ}$=$\hat{EBP}$
Hai tam giác BPE và OPQ đồng dạng (g.g)
\Rightarrow$\hat{PQO}$=$\hat{BEP}$
mà $\hat{BEP}$=$\hat{PEF}$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\Rightarrow$\hat{PQO}$=$\hat{PEF}$\RightarrowTứ giác PQFE nội tiếp.
b, Kẻ OH vuông góc với BC
Hai tam giác OPQ và OFE đồng dạng (g.g)
\Rightarrow$\frac{PQ}{FE}$=$\frac{OH}{OM}$
Vì A cố định\RightarrowB,C cố định mà O cố định\RightarrowOH ko đổi
Mặt khác OM là bán kính đường tròn (O) \RightarrowOM ko đổi
\Rightarrow$\frac{OH}{OM}$ cố định
Vậy $\frac{PQ}{FE}$ ko đổi khi M di chuyển trên cung BC.