Toán 9 Hình 9 hay

[matheverytime]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho từ giác lồi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB,BC,DC,AD.
a) chứng minh rằng [tex]MP\leqslant \frac{1}{2}\left ( BC+AD \right )[/tex]
b) chứng minh rằng từ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi [tex]MP+NQ=\frac{1}{2}\left ( AB+BC+CD+DA \right )[/tex]

 

[hdiemht]

Cho từ giác lồi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB,BC,DC,AD.
a) chứng minh rằng [tex]MP\leqslant \frac{1}{2}\left ( BC+AD \right )[/tex]
b) chứng minh rằng từ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi [tex]MP+NQ=\frac{1}{2}\left ( AB+BC+CD+DA \right )[/tex]

a) *TH1: [tex]AD[/tex] không song song [tex]BC[/tex]
Gọi I là trung điểm của BD [tex]\Rightarrow I,M,P[/tex] k thẳng hàng
Suy ra: MI, IP lần lượt là đường trung bình của [tex]\Delta ABD;\Delta BDC[/tex]
[tex]\Rightarrow MI= \frac{1}{2}AD;IP=\frac{1}{2}BC\Rightarrow MI+IP=\frac{1}{2}(AD+BC)[/tex]
Mà: [tex]IM+IP> MP[/tex] (BĐT trong tam giác)
[tex]\Rightarrow MP< \frac{1}{2}(AD+BC)[/tex] (1)
*TH2: [tex]AD\parallel CB[/tex]
Khi đó: [tex]MP[/tex] là đường trung ình của hình thang
[tex]\Rightarrow MP=\frac{1}{2}(AD+BC)[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: [tex]MP\leq \frac{1}{2}(AD+BC)[/tex] (!)
Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]AD\parallel BC[/tex]
b)
CMTT như câu a) ta được: [tex]NQ\leq \frac{1}{2}(AB+DC)[/tex] (!!)
Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]AB\parallel CD[/tex]
Cộng (!) và (!!) theo vế ta được: [tex]MP+NQ\leq \frac{1}{2}(AB+BC+CD+AC)[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]AB\parallel CD;AD\parallel BC \Rightarrow ABCD[/tex] là HBH
Vậy ABCD là HBH khi và chỉ khi [tex]MP+NQ=\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)[/tex]

 

[matheverytime]

câu 2) trong hình thang ABCD (BC//AD), tổng hai đáy lớn dài hơn tổng hai cạnh bên. Gọi M là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc A,B; gọi N là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc C và D. Chứng Minh Rằng :
[tex]2MN=BC+AD-(AB+CD)[/tex]

 

[hdiemht]

câu 2) trong hình thang ABCD (BC//AD), tổng hai đáy lớn dài hơn tổng hai cạnh bên. Gọi M là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc A,B; gọi N là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc C và D. Chứng Minh Rằng :
[tex]2MN=BC+AD-(AB+CD)[/tex]

____________________________
Giải
Gọi I,J là trung điểm của AB,CD; Q là giao điểm của BM với AD
Dễ dàng chứng minh được: [tex]\widehat{AMB}=90^{\circ};\widehat{DNC}=90^{\circ}[/tex]
Khi đó có được: [tex]MI=\frac{1}{2}AB;NJ=\frac{1}{2}CD[/tex]
Ta có: [tex]\Delta AMB[/tex] vuông có MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên: MI=IA
[tex]\Rightarrow \Delta AMI[/tex] cân [tex]\Rightarrow \widehat{IMA}=\widehat{IAM}=\widehat{MAD}\Rightarrow IM\parallel AQ\Leftrightarrow IM\parallel AD[/tex]
CMTT: [tex]NJ \parallel AD[/tex]
Ta có: IB=IA; [tex]IM\parallel AQ\Rightarrow MB=MQ[/tex]
Mặt khác: [tex]CJ=CD\rightarrow MJ[/tex] là đường trung bình của hình thang CBQD
[tex]\Rightarrow MJ\parallel DQ\Leftrightarrow MJ \parallel AD\Rightarrow[/tex] I,M,N,J thẳng hàng!!!
Ta có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD suy ra: [tex]IJ=\frac{1}{2}(BC+AD)[/tex]
Ta có: [tex]MN=IJ-IM-JN=\frac{BC+AD}{2}-\frac{AB}{2}-\frac{CD}{2}= \frac{BC+AD-(AB+CD)}{2}\Rightarrow 2MN=BC+AD-(AB+CD)[/tex]