Hình 8

[phuong_july]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác MND, nội tiếp tam giác ABC. Tìm vị trí điểm M, N, D sao cho chu vi tam giác MND nhỏ nhất. làm ngay giúp mình nhé.

 

[pandahieu]

Cách 1:
Lấy hình chiếu $D,E$ của $N$ trên $AB,AC$.
$I,K$ là trung điểm của $MN,NP$ ($M,N,P$ nằm trên $AB,BC,CA$)
\Rightarrow $MN+NP+PM\ge DE$
mà $DE$ đạt MIN \Leftrightarrow $AN$ vuông góc với $BC$ (*) (Điều này dễ dàng chứng minh chỉ việc lấy điểm đối xứng của $N$ qua $AB,AC$ )
vậy nếu lấy điểm $N$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$
$M,N$ nằm trên $AD,AE$ sao cho $MN$ song song $DE$ (cố đinh)
\Rightarrow đpcm.

Cách 2:


Giả sử tam giác $MNP$ có $M$ thuộc $BC$; $N$ thuộc $AB$; $P$ thuộc AC.

Với điểm $M$ cho trước gọi $E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $M$ qua $AB$ và $AC$.

Thì : $MN=ME$;
$MP=PF$

\Rightarrow $P_{MNP}=EN+NP+PF\ge EF$

Vậy ta cần tìm vị trí của $M$ để $EF$ có độ dài nhỏ nhất.

Lại có theo tính chất đối xứng thì

$AE=AF$ (cùng bằng $AM$)

$\widehat{MAC}=\widehat{CAF}$

$\widehat{EAB}=\widehat{BAM}$

\Rightarrow $\widehat{EAF}=2\widehat{BAC}$ (Không đổi)

Tam giác $EAF$ cân ở $A$ có góc $EAF$ không đổi nên $EF$ min \Leftrightarrow $AE$ min \Leftrightarrow $AM$ min

Kẻ $AH$ vuông góc $BC$ thì $AM\ge AH$ nên Min $AM=AH$ khi $M$ trùng $H$ khi $EF$ cắt $AB,AC$ tại $N,P$. Ta dễ dàng chứng minh được $N,P$ là chân đường cao hạ từ $B,C$ đến $AB,AC$.

Vậy chu vi $AMP$ nhỏ nhất khi có 3 điểm $M,N,P$ là chân 3 đương cao.

Cách 3:
Đây là bài toán bất đẵng thức trong tam giác rất cơ bãn, ở đây có cách giãi THCS cho bài toán