Vì qua G kẻ đường thẳng cắt AB tại D và cắt AC tại E.
Nên có các trường hợp sau:
1- Nếu DE // BC. lúc đó 2 tỉ số đều = 3/2 nên tổng = 3--> dpcm.
2 - Nếu D trùng A, vô lý vì khi đó biểu thức ko tồn tại.
3 - D trùng B. khi đó DE là trung tuyến, AB/AD = 1 và AC/AE = 2 --> dpcm.
4 - Nếu D là trung điểm AB, khi đó DE cũng là trung tuyến và E trùng C, AB/AD = 2 và AC/AE = 1 nên tổng = 3 --> dpcm.
5 - Nếu D nằm ngoài đoạn AB, trên tia đối của tia AB (nằm ngoài A): trường hợp này bài toán vô nghiệm vì tổng trên ko bằng 3 được, thực ra lúc này hiệu AC/AE - AB/AD mới = 3.
6 - D nằm trong đoạn AJ với GJ // AC, J thuộc AB. ta sẽ thấy bài toán vô nghiệm vì khi đó AB/AD - AC/AE = 3.
7 - D nằm trong đoạn JI, với I là trung điểm AB. khi đó E sẽ nằm ngoài AC và khác phía với A.
8 - D nằm trong đoạn IB, lúc này là trường hợp cả D và E đều nằm trên 2 cạnh của tam giác.
9 - D nằm ngoài AB và khác phía với A (nằm dưới B).
Cả 3 trường hợp 7, 8, 9 cách chứng minh giống nhau.
Tôi trình bày cách c/m cho trường hợp số 7 là trường hợp thông thường như đề bài toán.
trường hợp 7 ta lại chia ra 2 khả năng là D nằm trên đoạn song song với BC hay nằm dưới.
Nếu nằm dưới thì qua B và M lần lượt kẻ các đường thẳng // với DE, cắt cạnh AC lần lượt tại P và Q. suy ra P và Q đều thuộc cạnh AC và P nằm giữa E và Q.
Nếu D nằm trên đường thẳng song song với BC, khi đó ta ko kẻ từ B nữa mà kẻ từ C các đường thẳng song song như trên, và cách chứng minh tương tự.
Bây jờ ta quay lại trường hợp trên.
Như vậy trên cạnh AC ta có thứ tự các điểm từ A đến C là: A, E, P, Q, C.
Ta có: AB/AD = AP/AE
--> AB/AD + AC/AE = (AP + AC) / AE
ta phải chứng minh: AP + AC = 3.AE
AP + AC = AE + EP + AE + EP + PQ + QC
do PQ = QC vì MQ là đường trung bình tam giác CBP
--> AP + AC = 2.AE + 2.EP + 2PQ
tức là cần chứng minh: 2(EP + PQ) = AE
hay là cần chứng minh: AE = 2.EQ
điều này luôn đúng do GE // MQ và G là trọng tâm nên GA = 2GM.
--> dpcm.
chú ý: tất cả các trường hợp khác ta cũng kẻ các đường thẳng song song và làm tương tự, mỗi trường hợp thì thứ tự các điểm P, Q, E trên AC hoặc P, Q, D trên AB (nếu kẻ để cắt AB) sẽ khác nhau, nhưng cách làm ko đổi.
=> chú ý: bài tập này có thể dùng phương pháp vectơ thì giải sẽ ngắn ngọn hơn và ko cần kẻ thêm hình, nhưng đây là phương pháp của lớp 10. Tôi trình bày luôn để tham khảo:
Với cách dùng vectơ, ta chỉ phải xét 3 trường hợp:
1) Nếu D nằm trên tia JB, JG // AC, J thuộc AB:
ta có: [tex]\overrightarrow{AB} = \frac{AB}{AD}.\overrightarrow{AD} = m.\overrightarrow{AD}, m = \frac{AB}{AD}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC} = \frac{AC}{AE}.\overrightarrow{AE} = n.\overrightarrow{AE}, n = \frac{AC}{AE}[/tex]
[tex]\overrightarrow{GD} = -\frac{GD}{GE}.\overrightarrow{GE} = -k.\overrightarrow{GE}, k = \frac{GD}{GE}[/tex]
hay: [tex]\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AG} = -k.\overrightarrow{AE} + k.\overrightarrow{AG}[/tex]
suy ra: [tex]\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AD} + k.\overrightarrow{AE}}{k+1}[/tex]
do M là trung điểm BC và G là trọng tâm nên có:
[tex]\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2.\overrightarrow{AM} = 3.\overrightarrow{AG}[/tex]
suy ra:
[tex](\frac{3}{k+1} - m).\overrightarrow{AD} + (\frac{3k}{k+1} - n ).\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{0}[/tex]
do [tex]\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}[/tex] không cùng phương (không cộng tuyến) nên suy ra các hệ số của pt vectơ trên phải = 0 (vì nếu có hẹ số khác 0 thì 2 vectơ này sẽ cùng phương)
vậy: [tex]m = \frac{3}{k+1}, n = \frac{3k}{k+1}[/tex]
--> m + n = 3 (dpcm)
2) Nếu D nằm giữa A và J:
cách làm tương tự với để ý là lúc này [tex]\overrightarrow{GD}, \overrightarrow{GE}[/tex] cùng chiều và [tex]\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE}[/tex] ngược chiều
tính toán tương tự ta sẽ có: [tex]m = \frac{3}{1-k}, n = \frac{3k}{1-k}[/tex]
lúc này m - n = 3 tức là AB/AD - AC/AE = 3
3) Nếu D nằm ở phía tia đối của tia AB (ngoài A):
lúc này [tex]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}[/tex] ngược chiều
và tương tự ta suy ra: n - m = 3, tức là AC/AE - AB/AD = 3.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
