[HELP] 3 Bài toán chứng minh bất đẳng thức

[vu94_bmt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. [TEX]\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+ \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}} \geq \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}[/TEX]

2. [TEX]\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+ \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}} +4\geq 3(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a})[/TEX]

3. [TEX]{a}^{4}+ {b}^{4} \leq \frac{{a}^{6}}{{b}^{2}} + \frac{{b}^{6}}{{a}^{2}}[/TEX]

Hihi, nhờ cả nhà giúp đỡ.

 

[quynhnhung81]

2. [TEX]\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+ \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}} +4\geq 3(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a})[/TEX]

Làm được bài này thui ak
Đặt [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x \Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2=a^2[/TEX]

Ta có [TEX]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2} \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow x \geq2 \ or \ x \leq -2 \ \ \ \ \ \ \ (1)[/TEX]

Bdt đã cho tương đương vs [TEX]x^2+2 \geq 3x \Leftrightarrow x^2-3x+2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-1)\geq0[/TEX]
\Leftrightarrow x \geq 2 hoặc x \leq 1 [TEX]\ \ \\ \ \ (2)[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra dpcm

 

[linhhuyenvuong]

1. [TEX]\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+ \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}} \geq \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}[/TEX]

2. [TEX]\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+ \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}} +4\geq 3(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a})[/TEX]

3. [TEX]{a}^{4}+ {b}^{4} \leq \frac{{a}^{6}}{{b}^{2}} + \frac{{b}^{6}}{{a}^{2}}[/TEX]

Hihi, nhờ cả nhà giúp đỡ.

_____________________
1<
Ta có:
[TEX]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}- \frac{b}{a}[/TEX]
[TEX]=\frac{a^4+b^4-a^3b-b^3a}{a^2b^2}=\frac{(a-b)^2(a^2+ab+b^2)} {a^2b^2} \geq 0[/TEX]
\Rightarrow ĐPCM

3,
ta có
[TEX]\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}-a^4-b^4[/TEX]
[TEX]=\frac{a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6}{a^2b^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{(a-b)^2(a+b)^2(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)}{a^2b^2} \geq 0[/TEX]
\Rightarrow đpcm