Viết lại phương trình:
[imath](x-2)\sqrt{5-x^2}=x^2-3x+2[/imath] (ĐK: [imath]5-x^2 \geq 0 \Leftrightarrow -\sqrt{5}\leq x \leq \sqrt{5}[/imath]) ( xem cách giải chi tiết ở phụ lục 1 bên dưới cùng bài viết nhé)
[imath]\Leftrightarrow (x-2)\sqrt{5-x^2}=(x-1)(x-2)[/imath] (xem cách biến đổi từ [imath]x^2-3x+2[/imath] thành [imath](x-1)(x-2)[/imath] ở phụ lục 2 )
[imath]\Leftrightarrow (x-2)\sqrt{5-x^2}-(x-2)(x-1)=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-2)[\sqrt{5-x^2}-(x-1)]=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x-2=0\\ \sqrt{5-x^2}-(x-1)=0\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=2 (nhận)\\ \sqrt{5-x^2}=x-1\end{matrix}\right.[/imath]
Bây giờ ta giải phương trình: [imath]\sqrt{5-x^2}=x-1[/imath]
ĐK: [imath]\begin{cases} 5-x^2\geq0\\x-1\geq 0(\text{x-1 bằng một căn bậc 2 nên nó phải lớn hơn hoặc bằng 0)}\\ -\sqrt{5} \leq x\leq \sqrt{5}(\text{ĐK ban đầu của phương trình)} \end{cases}[/imath]
hay [imath]\begin{cases}-\sqrt{5} \leq x\leq \sqrt{5}\\x\geq 1 \end{cases}[/imath] hay [imath]1 \leq x\leq \sqrt{5}[/imath]
Bây giờ bình phương hai vế ta được:
[imath]5-x^2=(x-1)^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 5-x^2=x^2-2x+1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2x^2-2x-4=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2-x-2=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=-1 (loại)\\ x=2 (nhận)\end{matrix}\right.[/imath]
Vậy phương trình có 1 nghiệm [imath]x=2[/imath]
Phụ lục 1:
Giải bất phương trình: [imath]5-x^2 \geq 0[/imath] (tập xác định là [imath]\mathbb{R}[/imath])
Ta trừ 2 vế cho 5 được bpt tương đương: [imath]-x^2 \geq -5[/imath]
Nhân 2 vế cho -1 đổi chiều bất đẳng thức: [imath]x^2\leq 5[/imath]
2 vế điều không âm với mọi [imath]x[/imath] thuộc tập số thực nên lấy căn bậc 2 vế ta được:
[imath]\sqrt{x^2} \leq \sqrt{5}[/imath]
hay [imath]|x|\leq \sqrt{5}[/imath] (lưu ý tính chất: [imath]\sqrt{x^2}=|x|, \text{với mọi} x \text{thuộc} \mathbb{R}[/imath])
Nhớ lại tính chất:
Với [imath]a\geq0[/imath] thì
[math]|x|\leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a[/math]Sủ dụng tính chất trên với [imath]a=\sqrt{5}[/imath] ta có:
[imath]|x|\leq \sqrt{5}\Leftrightarrow -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}[/imath]
Phụ lục 2:
Để biết cách biến đổi [imath]x^2-3x+2=(x-1)(x-2)[/imath] ta cần sử dụng định lí sau:
Nếu phương trình [imath]ax^2+bx+c=0[/imath] ([imath]a \ne 0[/imath] ) có 2 nghiệm phân biệt [imath]x_1[/imath] và [imath]x_2[/imath] thì
[imath]ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/imath]
Lưu ý: Khi sử dụng định lí thì cần phải ghi lại hệ số [imath]a[/imath] (chính là hệ số cua [imath]x^2[/imath]) trước [imath](x-x_1)(x-x_2)[/imath]
Vì phương trình [imath]x^2-3x+2=0[/imath] có 2 nghiệm phân biệt là [imath]x_1=1[/imath] và [imath]x_2=2[/imath] nên
[imath]x^2-3x+2=1(x-1)(x-2)=(x-1)(x-2)[/imath]
Nó chưa hẳn là đầy đủ nhưng mong bạn đón nhận nó nhé ! Chúc bạn học tốt.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
