Hệ thức Vi-ét

[vominuong1105]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho pt bậc hai [tex] x^2 [/tex] - mx + m-1 =0

Gọi [tex] x_1 , x_2 [/tex] là 2 nghiệm của pt trên

Tìm m để biểu thức sau đạt GTLN và GTNN. Tìm GTLN và GTNN đó

A= [tex]\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2(x_1x_2+1)}[/tex]

 

[oggyz2]

Giải :
$\Delta =m^{2}-4(m-1)=(m-2)^{2}$ nên phương trình luôn có nghiệm.
Sử dụng Vi-ét ta được:
$\left\{\begin{matrix}
x_{1}+x_{2}= m& \\
x_{1}x_{2}=m-1 &
\end{matrix}\right.$
Viết lại A được:
$A=\frac{2(m-1)+3}{m^2-2(m-1)+2(m-1+1)}=\frac{2m+1}{m^{2}+2}$
Mà:
$\frac{2m+1}{m^{2}+2}$\leq $\frac{m^{2}+1+1}{m^{2}+2}=1$
$\frac{2m+1}{m^{2}+2}=\frac{2m+1}{m^{2}+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{(m+2)^{2}}{m^2+2}-\frac{1}{2}$\geq $-\frac{1}{2} $
Vậy :
Max_A=1 tại m=1 và
Min_B=$-\frac{1}{2}$ tại m=-2.

 

[vominuong1105]

Xin lỗi. Nhưng em chưa hiểu đoạn Mà... Anh có thể giảng kỹ hơn đc không ạ???

 

[oggyz2]

Phần sau đoạn Mà... là mình tìm GTLN và GTNN.
Phần GTLN:
Xét thấy $2m$\leq $m^{2}+1$ ( vì đây là cô-si)
Thay vào $\frac{2m+1}{m^{2}+2}$ thì được
$\frac{2m+1}{m^{2}+2}$\leq $\frac{m^{2}+1+1}{m^{2}+2}=\frac{m^{2}+2}{m^{2}+2}=1$
Nên suy ra max = 1 tại m = 1.
Phần GTNN:
$\frac{2m+1}{m^{2}+2}=\frac{2m+1}{m^{2}+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{2(2m+1)+m^{2}+2}{2(m^{2}+2)}-\frac{1}{2}=\frac{(m+2)^{2}}{2(m^2+2)}-\frac{1}{2}$
Thì thấy $\frac{(m+2)^{2}}{2(m^2+2)}$\geq $0$ ( vì trên tử không âm, mẫu dương ).
từ đó suy ra : $\frac{(m+2)^{2}}{2(m^2+2)}-\frac{1}{2}$\ged $-\frac{1}{2}$
Vậy min = $-\frac{1}{2}$ tại $\frac{(m+2)^{2}}{2(m^2+2)}=0$ $(=) m=-2$