Toán 9 Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

[02-07-2019.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu : Cho năm đoạn thẳng a,b,c,d,e trong đó bất kì 3 đoạn thẳng nào cũng tạo thành 1 tam giác.Chứng minh rằng tồn tại 3 đoạn thẳng lập thành 1 tam giác có ba góc nhọn.


Em cảm ơn.

 

[7 1 2 5]

Bổ đề: 1 tam giác nhọn có 3 cạnh lần lượt là [TEX]x < y < z[/TEX] khi và chỉ khi [tex]z^2< y^2+x^2[/tex], tam giác đó tù khi [TEX]z^2>x^2+y^2[/TEX]
Chứng minh: Giả sử tam giác ABC nhọn. Ta chứng minh [TEX]BC^2<AB^2+AC^2[/TEX].
Thật vậy, vẽ BH vuông với AC, ta có: [tex]BC^2=BH^2+HC^2=AB^2-AH^2+HC^2=AB^2-AH^2+(AC-AH)^2=AB^2-AH^2+AC^2-2AC.AH+AH^2=AB^2+AC^2-2AC.AH=AB^2+AC^2-2AC.AB.cosA< AB^2+AC^2[/tex]
Giả sử tam giác ABC tù tại A. Ta sẽ chứng minh [TEX]BC^2>AB^2+AC^2[/TEX]
Tương tự ta chứng minh được [TEX]BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cosA=AB^2+AC^2+2AB.AC.cos(180-A)[/TEX]
Vì góc A tù nên [TEX]cos(180-A) > 0 nên BC^2=AB^2+AC^2+2AB.AC.cos(180-A) > AB^2+AC^2[/TEX]
Quay lại bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử [TEX]a<b<c<d<e[/TEX]
Giả sử điều phải chứng minh sai, tức mọi tam giác tạo được luôn tù.
Khi đó [tex]e^2> d^2+c^2> 2c^2+b^2> 3b^2+2a^2> 2(a^2+b^2)> (b+c)^2\Rightarrow e> b+c[/tex].
Mà 3 đoạn bất kì luôn tạo 1 tam giác nên [tex]e< b+c[/tex](vô lí)
Vậy ta có đpcm.