Toán 10 hệ thức lượng

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Biết rằng MB=3, MC=2, AN=AP=x và góc ABC=60 độ
a) Tính x và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
b) Tính NP

 

a) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có: r = IP = IM = IN = x.tan$\frac {A}{2}$ = 3tan$\frac{B}{2}$ = 2tan$\frac{C}{2}$
Mà tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{B}{2}$ + tan$\frac{B}{2}$tan$\frac{C}{2}$ + tan$\frac{C}{2}$tan$\frac{A}{2}$ = 1
hay $\frac{r.r}{x.3}$ + $\frac{r.r}{3.2}$ + $\frac{r.r}{2.x}$ = 1
Suy ra $r^2$ = 6 + 5x
r = xtan$\frac {A}{2}$ = xtan30 = $\frac{x}{\sqrt{3}}$
Bình phương hai vế ta đc x = $\frac{3}{2}$(5 + $\sqrt {33}$)
Suy ra r = $\frac {\sqrt{3}}{2}$(5 + $\sqrt {33}$)
b) Xét tam giác ANP có AN = AP, góc A = 60 nên ANP là tam giác đều
Suy ra NP = x