Hệ thức lượng!

0

01263812493

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao : HD,HE lần lượt là đường cao của tam giác AHB và AHC. CMR:

[tex]\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}=\sqrt[3]{BC^2} [/tex]

Từ gt \Rightarrow AEHD là hcn \Rightarrow [TEX]AE=HD;EH=AD[/TEX]

Ta C/m [tex]VT-VP=0[/tex]

Từ (gt): [tex]\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}=\sqrt[3]{BC^2} [/tex]

[TEX]\Rightarrow BD^2+CE^2+3\sqrt[3]{BD^2CE^2BC^2}=BC^2[/TEX]

Xét hiệu:[TEX] BD^2+CE^2+3\sqrt[3]{BD^2CE^2BC^2}-BC^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow AB^2-2AB.AD+AD^2+AC^2-2AC.AE+AE^2+3\sqrt[3]{\frac{HB^4}{AB^2}.\frac{CH^4}{AC^2}.BC^2}-BC^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow AB^2-2AB.AD+AD^2+AC^2-2AC.AE+AE^2+3\sqrt[3]{\frac{HB^4.CH^4}{AH^2.BC^2}.BC^2}-BC^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow AD^2+AE^2 -2AB.AD-2AC.AE+3\sqrt[3]{\frac{HB.CH.(HB.CH)^3}{AH^2}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow AD^2+AE^2 -2AH^2-2AH^2+3HB.CH[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow AD^2+AE^2-AH^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow AD^2-(AH^2-AE^2)=0 \Rightarrow dpcm[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
T

trydan

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao : HD,HE lần lượt là đường cao của tam giác AHB và AHC. CMR:

[tex]\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}=\sqrt[3]{BC^2} \ (1) [/tex]

uhm. Bài này em sẽ chứng minh theo cách khác dễ hơn
gif.latex


Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và vài lần biến đổi thi ta có

gif.latex

gif.latex
 
Top Bottom