Toán 9 Hệ thức lượng nâng cao

[Lê Khánh Chi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 9. Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Qua I dựng đường thẳng vuông góc với IA cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh rằng :
a) [tex]\frac{BM}{CN}=\frac{BI^2}{CI^2}[/tex]
b) [tex]BM.AC + CN.AB +AI^2=AB.AC[/tex]

Các bạn giải giúp mình đồng thời nói cho mình trình tự suy luận ra kết quả câu b của các bạn nhé!! Cảm ơn các bạn nhiều.

 

[7 1 2 5]

a) Ta dễ thấy AM = AN nên [tex]\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\Rightarrow \widehat{BMI}=\widehat{CNI}=90^o+\frac{\widehat{A}}{2}[/tex]
Lại có: [tex]\widehat{MIB}=180^o-\widehat{MBI}-\widehat{BMI}=180^o-\frac{\widehat{B}}{2}-(90^o+\frac{\widehat{A}}{2})=\frac{\widehat{C}}{2}[/tex]
Từ đó chứng minh được [tex]\Delta BMI\sim \Delta INC\Rightarrow \frac{S_{BMI}}{S_{CIN}}=\frac{BI^2}{CI^2}[/tex]
Vẽ ID,IE vuông với AB và AC thì ID = IE.
Từ đó [tex]\frac{S_{BIM}}{S_{CIN}}=\frac{ID.BM}{IE.CN}=\frac{BM}{CN}\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{IB^2}{IC^2}[/tex]
b) Ta có: [tex]AI^2=AM^2-IM^2=AM.AN-IM.IN[/tex]
[tex]\Delta BMI\sim \Delta INC\Rightarrow IM.IN=BM.NC\Rightarrow BM.AC+CN.AB+AI^2=BM.AC+CN.AB+AM.AN-BM.NC=BM(AC-NC)+AB.NC+AM.AN=BM.AN+AM.AN+AB.NC=AN(BM+AM)+AB.NC=AN.AB+AB.NC=AB(AN+NC)=AB.AC[/tex]