Chứng minh rằng : [tex]cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex], không dùng bảng số, không dùng máy tính
Vẽ $\triangle ABC$ có $\widehat{C}=15^{\circ};AB=1$, đường trung trực của $BC$ cắt $AC$ tại $D$
Ta có: $\widehat{ABC}=75^{\circ};\widehat{BDC}=15^{\circ}$ (vì $\triangle DBC$ cân tại $D$) suy ra $\widehat{ABD}=60^{\circ}$
Suy ra $CD=BD=\dfrac{AB}{\cos 60^{\circ}}=2$ suy ra $AD=BD.\sin 60^{\circ}=\sqrt 3$ suy ra $AC=2+\sqrt 3$
Lại có: $BC^2=AB^2+AC^2=8+4\sqrt 3$ suy ra $BC=\sqrt{8+4\sqrt 3}=\sqrt{2(\sqrt 3+1)^2}=\sqrt 6+\sqrt 2$
Suy ra $\cos 15^{\circ}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2+\sqrt 3}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{(2+\sqrt 3)(\sqrt 6-\sqrt 2)}{6-2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
