Hệ thức đường trung tuyến của tam giác

[inuyashahot]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn và đường trung tuyến AM.
1. CM: AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + (BC^2/2) ( Hệ thức đttuyến trong tam giác)
2. Suy ra: tổng các bình phương của 3 đường trung tuyến bằng 3/4 tổng các bình phương của 3 cạnh của tam giác đó.
Cám ơn các bạn nhiều.

 

[changbg]

thống nhất hình AB<AC
kẻ đường cao AH
[TEX] AH^2= AB^2-BH^2=AC^2-CH^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow AB^2-(BC-CH)^2=AC^2-CH^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow AB^2-BC^2+2BC.CH-HC^2=AC^2 -CH^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2BC.CH= AC^2-AB^2+BC^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow CH= \frac{AC^2-AB^2+BC^2}{2BC}[/TEX]
[TEX] AH^2 =AC^2-CH^2= AC^2 - (\frac{AC^2-AB^2+BC^2)^2}{4BC^2} [/TEX]

[TEX]HM = CH- CM = \frac{AC^2-AB^2+BC^2}{2BC}-\frac{1}{2BC}= \frac{AC^2-AB^2}{2BC} [/TEX]

[TEX]AM^2 = AH^2+HM^2[/TEX]
[TEX]=AC^2 - (\frac{AC^2-AB^2+BC^2)^2}{4BC^2}+ \frac{(AC^2-AB^2)^2}{4BC^2} [/TEX]
( áp dụng hằng đẳng thức : hiệu 2 bình phương)
[TEX]= AC^2 + \frac{-BC^2(2AC^2-2AB^2+BC^2)}{4BC^2} [/TEX]
[TEX]= AC^2 - \frac{2AC^2-2AB^2+BC^2}{4} [/TEX]
[TEX]= AC^2 - (\frac{AC^2}{2}- \frac{AB^2}{2}+ \frac{BC^2}{4}) [/TEX]
[TEX]= \frac{AC^2}{2}+ \frac{AB^2}{2}- \frac{BC^2}{4} [/TEX]
suy ra điều phải chứng minh
phần b
[TEX]m_a ^2+m_b^2+m_c^2 = \frac{3}{4} (a^2+b^2+c^2)[/TEX]

ấn thanks cho tớ nhá

 

[inuyashahot]

Thanks rồi đó. Tại dạo này mình bận quá. Sorry nhiều nhé