Toán 10 Hệ Phương trình và phương trình hàm

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho hàm số f: $\mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ \, (\mathbb{Z}^+$ là tập hợp các số nguyên dương) sao cho:
Với mọi $m,n>0$ thì $(m^2+n)^2$ chia hết cho $f^2(m)+f(n)$
Tính giá trị của $T= \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{2014} \dfrac{k}{(k+1)[f(k)]^2}$

2. Giải hệ phương trình

$\begin{cases} y^3(3x^2-4x-23)+8y=8 \\ y^2(x^3+10x+27)-6y=8 \end{cases}$

E cảm ơn nhiều ạ

 

[7 1 2 5]

1. Chọn [TEX]m=n=1[/TEX] ta có: [TEX]4 \vdots f^2(1)+f(1) \Rightarrow f(1)=1[/TEX]
Chọn [TEX]m=1,n=p-1[/TEX] với [TEX]p[/TEX] là số nguyên tố ta có:
[TEX]p^2 \vdots f(p-1)+1 \Rightarrow f(p-1)=p-1[/TEX] hoặc [TEX]f(p-1)=p^2-1[/TEX]
Giả sử tồn tại số nguyên tố [TEX]p_0[/TEX] sao cho [TEX]f(p_0-1)=p_0^2-1[/TEX]
Chọn [TEX]m=p_0-1,n=1[/TEX] ta được: [TEX](p_0^2-2p_0+2)^2 \vdots (p_0^2-1)^2+1 \Rightarrow [/TEX] Vô lí
Từ đó [TEX]f(p-1)=p-1[/TEX] với mọi số nguyên tố [TEX]p[/TEX].
Chọn [TEX]m=x,n=p-1[/TEX] ta được: [TEX][x^2+(p-1)]^2 \vdots f^2(x)+p-1[/TEX]
Mà [TEX](x^2+p-1)-[x^2-f^2(x)]=f^2(x)+p-1 \Rightarrow [x^2-f^2(x)]^2 \vdots f^2(x)+p-1[/TEX]
Cố định [TEX]x[/TEX] và chọn [TEX]p[/TEX] đủ lớn ta được [TEX]f^2(x)+p-1>[x^2-f^2(x)]^2 \Rightarrow x^2=f^2(x) \Rightarrow f(x)=x \forall x \in \mathbb{Z}^+[/TEX]
Từ đó [TEX]T=\dfrac{2014}{2015}[/TEX]
2. Nhận thấy [TEX]y=0[/TEX] không là nghiệm của hệ nên hệ trên tương đương với:
[tex]\left\{\begin{matrix} 3x^2-4x-23=\dfrac{8}{y^3}-\dfrac{8}{y^2}\\ x^3+10x+27=\dfrac{8}{y^2}+\dfrac{6}{y} \end{matrix}\right.\Rightarrow x^3+3x^2+6x+4=\dfrac{8}{y^3}+\dfrac{6}{y} \Rightarrow (x+1)^3+3(x+1)=(\dfrac{2}{y})^3+3.\dfrac{2}{y} \Rightarrow x+1=\dfrac{2}{y}[/tex]
Bây giờ thay lại vào phương trình ban đầu rồi tìm [TEX]x,y[/TEX] nhé.

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.