Hệ phương trình khó

[ngan812946]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả các số nguyên x,y ,z thỏa hệ phương trình
x^3+y^3+z^3=3 và x+y+z=3

 

[lamnguyen.rs]

Ta có:
$(x+y+z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3) = 3(x + y)(y + z)(z + x)$ (HDT)
$<=> (x + y)(y + z)(z + x) = \dfrac{(x+y+z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3)}{3} = 8$ (1)
Mặt khác:
$x + y + z= 3$ ==> $x, y, z$ có ít nhất một số lẻ. Giả sử $z$ lẻ ==> $x + y$ chẵn (2)
Ta có $(x + y) + (y + z) + (z + x) = 2(x + y + z) = 6$ (3)
Từ $(1), (2), (3)$ ==> $(x + y)(y + z)(z + x) = 2.2.2 = 8.(-1)(-1)$
Xét 2 TH trên, giải HPT suy ra giá trị của $x, y, z$ là $(1, 1, 1)$ và $(4, 4, -5)$.

Kết luận: $(x, y, z) = (1, 1, 1)$ hoặc $(4, 4, -5)$ và các hoán vị.