Hệ phương trình chứa căn!

[celebi97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{array}{l} x+y=\sqrt[]{4z-1} \\y+z=\sqrt[]{4x-1}\\ x+z=\sqrt[]{4y-1} \end{array} \right.$$

 

[asroma11235]

Vì hệ có tính hoán vị vòng quanh nên ta giả sử x lớn nhất.
Xét 2 TH:
1: x>y>z:
[TEX]\Rightarrow 4x-1>4y-1>4z-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y+z>x+z>x+y[/TEX]
Mâu thuẫn.
TH2: x>z>y:
[TEX]\Rightarrow 4x-1>4z-1>4y-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y+z>x+y>x+z[/TEX]
Mâu thuẫn.
Vậy hệ có nghiệm: [TEX]x=y=z=\frac{1}{2}[/TEX]
Thử lại đúng.

 

[0915549009]

Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{array}{l} x+y=\sqrt[]{4z-1} \\y+z=\sqrt[]{4x-1}\\ x+z=\sqrt[]{4y-1} \end{array} \right.$$

Cauchy là nhanh nhất
[TEX] \Leftrightarrow 2(x+y+z)=\sqrt{4z-1}+\sqrt{4z-1}+\sqrt{4z-1} \leq 2(x+y+z)[/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2} [/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

$$\left\{ \begin{array}{l} x+y=\sqrt[]{4z-1} \\y+z=\sqrt[]{4x-1}\\ x+z=\sqrt[]{4y-1} \end{array} \right.$$

[TEX]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+2y=2\sqrt[]{4z-1} \\2y+2z=2\sqrt[]{4x-1}\\ 2x+2z=2\sqrt[]{4y-1} \end{array} \right.[/TEX]

cộng vế với vế

[TEX]\Rightarrow (\sqrt{4x-1} - 1)^2 + (\sqrt{4y-1} - 1)^2 + (\sqrt{4z-1} - 1)^2 = 0[/TEX]


[TEX]\Rightarrow x= y = z = \frac{1}{2}[/TEX]