Toán 10 Hàng điểm điều hòa

_Error404_

Học sinh chăm học
Thành viên
20 Tháng hai 2020
333
312
76
17
Hà Tĩnh
THCS Lê Văn Thiêm
  • Like
Reactions: 7 1 2 5

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,478
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Anh không biết có cách nào ngắn hơn không nhưng mà cách anh hơi dài =))

Gọi [imath]S[/imath] là giao điểm của [imath]AP[/imath] với [imath](O)[/imath], [imath]M[/imath] là trung điểm [imath]BC[/imath], [imath]SM[/imath] cắt [imath](O)[/imath] tại [imath]D[/imath]. Ta sẽ chứng minh [imath]QH[/imath] chính là đường thẳng Steiner của điểm [imath]D[/imath] với [imath]\Delta ABC[/imath].
Nhận xét 1: [imath]\widehat{ADQ}=90^o[/imath]
Chứng minh:
1662049602797.png
Gọi giao điểm của [imath]BQ[/imath] với [imath]AC[/imath] là [imath]E[/imath], giao điểm của [imath]CQ[/imath] với [imath]AB[/imath] là [imath]F[/imath], giao điểm của [imath]AQ[/imath] với [imath]BC[/imath] là [imath]G[/imath].
Gọi [imath]J[/imath] là giao điểm [imath]EF[/imath] với [imath]BC[/imath], [imath]JA[/imath] cắt [imath](O)[/imath] tại [imath]D'[/imath] khác [imath]A[/imath].
Ta có [imath]\widehat{ABQ}=\widehat{PBC}=\widehat{PCB}=\widehat{ACQ}[/imath] nên [imath]BFEC[/imath] nội tiếp
Khi đó ta thấy [imath](JG,BC)=-1[/imath] nên [imath]JG \cdot JM=JB \cdot JC=JD' \cdot JA=JE \cdot JF[/imath] hay [imath]AD'GM[/imath] nội tiếp.
Mặt khác, [imath]\widehat{GAD}=\widehat{GAB}+\widehat{BAD}=\widehat{PAC}+\widehat{BAD}=\widehat{BAD}+\widehat{SAC}=\widehat{GMD}[/imath] nên [imath]ADGM[/imath] nội tiếp.
Từ đó [imath]D \equiv D'[/imath]. Ta cũng suy ra được [imath]D[/imath] là điểm Miquel của tứ giác toàn phần [imath]BFEC.AJ[/imath]
Gọi [imath]O'[/imath] là tâm của [imath](BFEC)[/imath] thì áp dụng định lý Brocard, ta có [imath]O'Q \perp AJ[/imath] tại [imath]D[/imath], tức [imath]\widehat{ADQ}=90^o[/imath]

Nhận xét 2: [imath]Q[/imath] thuộc đường thẳng Steiner của điểm [imath]D[/imath] ứng với [imath]\Delta ABC[/imath].
Chứng minh:
1662050458707.png
Gọi [imath]D_1,D_2[/imath] lần lượt là điểm đối xứng với [imath]D[/imath] qua [imath]AB,AC[/imath], [imath]K[/imath] là giao điểm của [imath](AQ)[/imath] với [imath](A,AD)[/imath]
Dễ thấy [imath](A,AD)[/imath] đi qua [imath]D_1,D_2[/imath] và [imath]K[/imath] đối xứng với [imath]D[/imath] qua [imath]AQ[/imath]. Từ đó [imath]QD=QK[/imath].
Mà [imath]QD \perp AD[/imath] nên [imath]QD,QK[/imath] là tiếp tuyến của [imath](A,AD)[/imath].
Từ đó ta chỉ cần chứng minh [imath](DK,D_1D_2)=-1 \Leftrightarrow D(QK,D_1D_2)=-1[/imath]
Nhận thấy rằng [imath](JG,BC)=-1 \Rightarrow A(JG,BC)=-1[/imath].
Mà [imath]AJ \perp DQ, AG \perp DK, AB \perp DD_1, AC \perp DD_2[/imath] nên [imath]D(QK,D_1D_2)=-1[/imath].

Nhận xét 3: [imath]T[/imath] thuộc đường thẳng Steiner của [imath]D[/imath] ứng với [imath]\Delta ABC[/imath].
Chứng minh:
1662051602175.png
Ta có kết quả quen thuộc là đường thẳng Steiner ứng với [imath]\Delta ABC[/imath] thì đi qua trực tâm [imath]H[/imath] nên nếu gọi [imath]D'[/imath] là điểm đối xứng với [imath]D[/imath] qua [imath]BC[/imath] thì ta chỉ cần chứng minh [imath]T,H,D'[/imath] thẳng hàng là xong.
Giả sử [imath]D'H[/imath] cắt [imath]PS[/imath] và [imath]PM[/imath] tại [imath]I[/imath] và [imath]T'[/imath]. Gọi [imath]H'[/imath] là điểm đối xứng với [imath]H[/imath] qua [imath]BC[/imath] thì [imath]A,H,H'[/imath] thẳng hàng.
Vì [imath]AH \parallel PM[/imath] nên [imath]\widehat{T'PI}=\widehat{H'AS}=\widehat{H'DM}=\widehat{HD'M}=\widehat{ID'M} \Rightarrow ID'MP[/imath] nội tiếp
[imath]\Rightarrow \widehat{D'PM}=\widehat{D'IM}[/imath]
Lại có: [imath]\widehat{MT'I}=\widehat{DHH'}=\widehat{D'H'H}=\widehat{DH'A}=\widehat{MSI} \Rightarrow IT'SM[/imath] nội tiếp
[imath]\Rightarrow \widehat{D'IM}=\widehat{T'SM}[/imath]
Lấy [imath]P'[/imath] đối xứng với [imath]P[/imath] qua [imath]BC[/imath] thì [imath]\widehat{DP'M}=\widehat{D'PM}=\widehat{T'SM} \Rightarrow T'DP'S[/imath] nội tiếp
[imath]\Rightarrow MT' \cdot MP'=MD \cdot MS=MB \cdot MC[/imath]
Mà [imath]T[/imath] là trực tâm [imath]\Delta PBC \Rightarrow MT \cdot MP=MB \cdot MC \Rightarrow MT \cdot MP=MT' \cdot MP'[/imath]
Vì [imath]MP=MP \Rightarrow MT=MT' \Rightarrow T \equiv T' \Rightarrow T,D',H[/imath] thẳng hàng.

Từ [imath]3[/imath] nhận xét trên ta được [imath]T,Q,H[/imath] thẳng hàng.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022
 
Last edited:
Top Bottom