$17.$ Ta có $:$ $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
Đặt $h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ và $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$.$ Dễ dàng chứng minh được $h(x)$ là hàm số chẵn và $g(x)$ là hàm số lẻ
Giả sử tồn tại $f(x)=h_{1}(x)+g_{1}(x)$$,$ trong đó $h_{1}(x)$ là hàm số chẵn$,$ $g_{1}(x)$ là hàm số lẻ và $h(x) \neq h_{1}(x)$$,$ $g(x) \neq g_{1}(x)$ $(*)$
Khi đó $:$ $h(x)+g(x)=f(x)=h_{1}(x)+g_{1}(x) \Leftrightarrow g(x)-g_{1}(x)=h_{1}(x)-h(x)$ $(**)$
Dễ dàng chứng minh được hiệu của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ$,$ tương tự hiệu của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn
Từ đó $:$ $(**) \Rightarrow g(x)-g_{1}(x)=h_{1}(x)-h(x)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} g(x)=g_{1}(x) & \\ h_{1}(x)=h(x) & \end{matrix}\right.$ $($Mâu thuẫn $(*)$$)$
Vậy chỉ có duy nhất một cách duy nhất để biểu diễn hàm $f$ dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ$.$ $($đpcm$)$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
