17. Ta có
: f(x)=2f(x)+f(−x)+2f(x)−f(−x)
Đặt
h(x)=2f(x)+f(−x) và $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}
.
De^~daˋngchứngminhđượch(x)
laˋhaˋmso^ˊcha˘~nvaˋg(x)$ là hàm số lẻ
Giả sử tồn tại $f(x)=h_{1}(x)+g_{1}(x)$$,$ trong đó $h_{1}(x)$ là hàm số chẵn$,$ $g_{1}(x)$ là hàm số lẻ và $h(x) \neq h_{1}(x)$$,
g(x) \neq g_{1}(x)
(*)$
Khi đó
: h(x)+g(x)=f(x)=h1(x)+g1(x)⇔g(x)−g1(x)=h1(x)−h(x) (∗∗)
Dễ dàng chứng minh được hiệu của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ
, tương tự hiệu của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn
Từ đó
: (∗∗)⇒g(x)−g1(x)=h1(x)−h(x)=0⇔{g(x)=g1(x)h1(x)=h(x) (Mâu thuẫn $(*)
)$
Vậy chỉ có duy nhất một cách duy nhất để biểu diễn hàm
f dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ
. (đpcm
)