Toán 12 hàm số với cận tích phân thay đổi

Thảo luận trong 'Nguyên hàm và tích phân' bắt đầu bởi Sweetdream2202, 29 Tháng một 2019.

Lượt xem: 1,954

  1. Sweetdream2202

    Sweetdream2202 Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,615
    Điểm thành tích:
    216
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt sáu môn học.


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    1. Định nghĩa hàm số với cận tích phân thay đổi
    -
    hàm [tex]F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt[/tex] được gọi là hàm số với cận tích phân thay đổi.
    - đạo hàm của hàm số với cận tích phân thay đổi:
    giả sử g(t) là 1 nguyên hàm của f(t). suy ra: [tex]F(x)=g(v(x))-g(u(x))[/tex]
    lấy đạo hàm 2 vế: [tex]F'(x)=g'(v).v'(x)-g'(u).u'(x)=f(v(x)).v'(x)-f(u(x)).u'(x)[/tex]
    - chú ý: + với hàm [tex]F(x)=\int_{a}^{v(x)}f(t)dt[/tex] thì [tex]F'(x)=v'(x).f(v(x))[/tex]
    2. Một số ví dụ
    * ví dụ 1: cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] liên tục trên [0;+∞) và[tex]\int_{0}^{x^2}f(t)dt=x.e^x[/tex]. tính [tex]f(4)[/tex] (trích đề thi thử trường THPT Cộng Hiền 2017-2018)
    - xét [tex]F(x)=\int_{0}^{x^2}f(t)dt[/tex]. lấy đạo hàm 2 vế, ta được: [tex]F'(x)=2x.f(x^2)[/tex]
    - ta suy ra: [tex]2x.f(x^2)=x.e^x+e^x=>f(x^2)=\frac{e^x(x+1)}{2x}[/tex]
    - suy ra: [tex]f(4)=f(2^2)=\frac{e^2.(2+1)}{2.2}=\frac{3e^2}{4}[/tex]
    * ví dụ 2: tìm tập nghiệm của bất phương trình [tex]\int_{0}^{x}\frac{t}{t^{2202}+2202}dt>0[/tex]
    - xét [tex]F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t}{\sqrt{t^{2202}+2202}}dt=>F'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2202}+2202}}[/tex]
    - [tex]F'(x)=0<=>x=0[/tex]
    - lập bảng biến thiên suy ra F(x) nghịch biến trên (-∞;0) và đồng biến trên (0;+∞). mà F(0)=0 nên suy ra [tex]F'(x)>0[/tex] khi x khác 0
    * ví dụ 3: hàm [tex]y=f(x)[/tex] nhận giá trị không âm và liên tục trên [0;1]. [tex]g(x)=1+2\int_{0}^{x}f(t)dt[/tex]. biết [tex]g(x)\geq (f(x))^2,\forall x\in [0;1][/tex]. tìm GTNN của [tex]y=g(x)-x^2-2x[/tex]
    - [tex]g(x)=1+2\int_{0}^{1}f(t)dt\geq (f(x))^2=>g'(x)=2f(x)=>g(x)\geq (\frac{g'(x)}{2})^2=>\sqrt{g(x)}\geq \frac{g'(x)}{2}=>\frac{g'(x)}{g(x)}\leq 2[/tex]
    - do đó: [tex]\int_{0}^{x}\frac{g'(t)}{g(t)}dt\leq \int_{0}^{x}2dt<=>2\sqrt{g(x)}-2\sqrt{g(0)}\leq 2x<=>\sqrt{g(x)}\leq x+1<=>g(x)\leq x^2+2x+1<=>g(x)-x^2-2x\leq 1[/tex]
     
    Last edited: 30 Tháng một 2019
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY