- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. Định nghĩa hàm số với cận tích phân thay đổi
- hàm [tex]F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt[/tex] được gọi là hàm số với cận tích phân thay đổi.
- đạo hàm của hàm số với cận tích phân thay đổi:
giả sử g(t) là 1 nguyên hàm của f(t). suy ra: [tex]F(x)=g(v(x))-g(u(x))[/tex]
lấy đạo hàm 2 vế: [tex]F'(x)=g'(v).v'(x)-g'(u).u'(x)=f(v(x)).v'(x)-f(u(x)).u'(x)[/tex]
- chú ý: + với hàm [tex]F(x)=\int_{a}^{v(x)}f(t)dt[/tex] thì [tex]F'(x)=v'(x).f(v(x))[/tex]
2. Một số ví dụ
* ví dụ 1: cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] liên tục trên [0;+∞) và[tex]\int_{0}^{x^2}f(t)dt=x.e^x[/tex]. tính [tex]f(4)[/tex] (trích đề thi thử trường THPT Cộng Hiền 2017-2018)
- xét [tex]F(x)=\int_{0}^{x^2}f(t)dt[/tex]. lấy đạo hàm 2 vế, ta được: [tex]F'(x)=2x.f(x^2)[/tex]
- ta suy ra: [tex]2x.f(x^2)=x.e^x+e^x=>f(x^2)=\frac{e^x(x+1)}{2x}[/tex]
- suy ra: [tex]f(4)=f(2^2)=\frac{e^2.(2+1)}{2.2}=\frac{3e^2}{4}[/tex]
* ví dụ 2: tìm tập nghiệm của bất phương trình [tex]\int_{0}^{x}\frac{t}{t^{2202}+2202}dt>0[/tex]
- xét [tex]F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t}{\sqrt{t^{2202}+2202}}dt=>F'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2202}+2202}}[/tex]
- [tex]F'(x)=0<=>x=0[/tex]
- lập bảng biến thiên suy ra F(x) nghịch biến trên (-∞;0) và đồng biến trên (0;+∞). mà F(0)=0 nên suy ra [tex]F'(x)>0[/tex] khi x khác 0
* ví dụ 3: hàm [tex]y=f(x)[/tex] nhận giá trị không âm và liên tục trên [0;1]. [tex]g(x)=1+2\int_{0}^{x}f(t)dt[/tex]. biết [tex]g(x)\geq (f(x))^2,\forall x\in [0;1][/tex]. tìm GTNN của [tex]y=g(x)-x^2-2x[/tex]
- [tex]g(x)=1+2\int_{0}^{1}f(t)dt\geq (f(x))^2=>g'(x)=2f(x)=>g(x)\geq (\frac{g'(x)}{2})^2=>\sqrt{g(x)}\geq \frac{g'(x)}{2}=>\frac{g'(x)}{g(x)}\leq 2[/tex]
- do đó: [tex]\int_{0}^{x}\frac{g'(t)}{g(t)}dt\leq \int_{0}^{x}2dt<=>2\sqrt{g(x)}-2\sqrt{g(0)}\leq 2x<=>\sqrt{g(x)}\leq x+1<=>g(x)\leq x^2+2x+1<=>g(x)-x^2-2x\leq 1[/tex]
- hàm [tex]F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt[/tex] được gọi là hàm số với cận tích phân thay đổi.
- đạo hàm của hàm số với cận tích phân thay đổi:
giả sử g(t) là 1 nguyên hàm của f(t). suy ra: [tex]F(x)=g(v(x))-g(u(x))[/tex]
lấy đạo hàm 2 vế: [tex]F'(x)=g'(v).v'(x)-g'(u).u'(x)=f(v(x)).v'(x)-f(u(x)).u'(x)[/tex]
- chú ý: + với hàm [tex]F(x)=\int_{a}^{v(x)}f(t)dt[/tex] thì [tex]F'(x)=v'(x).f(v(x))[/tex]
2. Một số ví dụ
* ví dụ 1: cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] liên tục trên [0;+∞) và[tex]\int_{0}^{x^2}f(t)dt=x.e^x[/tex]. tính [tex]f(4)[/tex] (trích đề thi thử trường THPT Cộng Hiền 2017-2018)
- xét [tex]F(x)=\int_{0}^{x^2}f(t)dt[/tex]. lấy đạo hàm 2 vế, ta được: [tex]F'(x)=2x.f(x^2)[/tex]
- ta suy ra: [tex]2x.f(x^2)=x.e^x+e^x=>f(x^2)=\frac{e^x(x+1)}{2x}[/tex]
- suy ra: [tex]f(4)=f(2^2)=\frac{e^2.(2+1)}{2.2}=\frac{3e^2}{4}[/tex]
* ví dụ 2: tìm tập nghiệm của bất phương trình [tex]\int_{0}^{x}\frac{t}{t^{2202}+2202}dt>0[/tex]
- xét [tex]F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t}{\sqrt{t^{2202}+2202}}dt=>F'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2202}+2202}}[/tex]
- [tex]F'(x)=0<=>x=0[/tex]
- lập bảng biến thiên suy ra F(x) nghịch biến trên (-∞;0) và đồng biến trên (0;+∞). mà F(0)=0 nên suy ra [tex]F'(x)>0[/tex] khi x khác 0
* ví dụ 3: hàm [tex]y=f(x)[/tex] nhận giá trị không âm và liên tục trên [0;1]. [tex]g(x)=1+2\int_{0}^{x}f(t)dt[/tex]. biết [tex]g(x)\geq (f(x))^2,\forall x\in [0;1][/tex]. tìm GTNN của [tex]y=g(x)-x^2-2x[/tex]
- [tex]g(x)=1+2\int_{0}^{1}f(t)dt\geq (f(x))^2=>g'(x)=2f(x)=>g(x)\geq (\frac{g'(x)}{2})^2=>\sqrt{g(x)}\geq \frac{g'(x)}{2}=>\frac{g'(x)}{g(x)}\leq 2[/tex]
- do đó: [tex]\int_{0}^{x}\frac{g'(t)}{g(t)}dt\leq \int_{0}^{x}2dt<=>2\sqrt{g(x)}-2\sqrt{g(0)}\leq 2x<=>\sqrt{g(x)}\leq x+1<=>g(x)\leq x^2+2x+1<=>g(x)-x^2-2x\leq 1[/tex]
Last edited:
