hàm số mũ và logarit. Bài tập hay!

[xuanhoang225]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2 - x +1} = 2009^{y-1} + 1 \\ y+\sqrt{y^2 - y +1} = 2009^{x-1} + 1 \end{array} \right.$$
Ai làm được thì post lên cho mọi người với nha!

 

[silvery21]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2 - x +1} = 2009^{y-1} + 1 \\ y+\sqrt{y^2 - y +1} = 2009^{x-1} + 1 \end{array} \right.$$
Ai làm được thì post lên cho mọi người với nha!

tương tự bài nek

[TEX](I)\left{\begin{x+\sqrt{x^2-2x+2} =3^{y-1} +1}\\{y+\sqrt{y^2-2y+2} =3^{x-1} +1}[/TEX]

Bài giải

[TEX](I) \Leftrightarrow \ \left{\begin{x-1 +\sqrt{(x-1)^2 +1} =3^{y-1} }\\{y-1 +\sqrt{(y-1)^2+1} = 3^{x-1}} [/TEX]

[TEX]Coi u= x-1 , v=y-1[/TEX]

Hệ được viết lại:

[TEX]\left{\begin{u+\sqrt{u^2+1} =3^v(1)}\\{v+\sqrt{v^2 +1}=3^u(2)}[/TEX]

Xét hàm số :

[TEX]f(t) = t+\sqrt{t^2 +1 }[/TEX]

[TEX]f'(t) =1 + \frac{t}{\sqrt{t^2+1}} = \frac{\sqrt{t^2 +1} +t}{\sqrt{t^2+1}}[/TEX]

[TEX]NX : \sqrt{t^2 +1} > \sqrt{t^2} >|t| >-t \rightarrow \ \sqrt{t^2+1} +t>0[/TEX]

[TEX]\rightarrow \ f'(t) >0 \forall t\in R[/TEX]

Do vai trò của [TEX]u[/TEX] , [TEX]v [/TEX]như nhau :

[TEX]G/s : u>v \rightarrow \ 3^v >3^u \rightarrow \ v>u[/TEX]

Vậy[TEX] u=v[/TEX]

Thay vào [TEX](1)[/TEX] ta được :

[TEX] u +\sqrt{u^2+1} =3^u (3)[/TEX]

[TEX] Do u +\sqrt{u^2+1} >0 \forall u \in R[/TEX]

[TEX]PT (3) \Leftrightarrow \ ln (u +\sqrt{u^2+1}) =uln3[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \ ln ( u +\sqrt{u^2+1}) - u ln3 =0[/TEX]

Xét [TEX]h/s : g(u)= ln ( u +\sqrt{u^2+1}) - u ln3 u \in R[/TEX]

[TEX]g'(u)= \frac{1}{\sqrt{u^2 +1}} -ln3[/TEX]

Vì [TEX]\frac{1}{\sqrt{u^2 +1}} \le 1 < ln3[/TEX]

[TEX]\rightarrow \ g'(u) <0 \forall u \in R[/TEX]

[TEX]\rightarrow \ g(u) NB[/TEX] trên [TEX]R[/TEX]

[TEX]PT (3)[/TEX] có không quá 1 nghiệm mà [TEX]u=0 [/TEX]là nghiệm[TEX] \rightarrow \ u=v=0[/TEX]

[TEX]\rightarrow \ x=y=1[/TEX]

 

[xuanhoang225]

cũng phức tạp nhỉ? có ai có cách làm khác không? cái đoạn sau lủng củng hơi khó hiểu!

 

[silvery21]

cũng phức tạp nhỉ? có ai có cách làm khác không? cái đoạn sau lủng củng hơi khó hiểu!

nếu c hiểu theo ý như bài trên trình bày theo cách của mình chỉ mất khoảng 10 dòng thoaj

đây là cách hàm số ; t chắc cũng ko còn cách # cho bài nek đâu

 

[xuanhoang225]

cái chỗ giả sử u>v \Leftrightarrow 3^u>3^v \Rightarrow v>u
vay u=v nghĩa là sao hả bạn?

 

[silvery21]

cái chỗ giả sử u>v \Leftrightarrow 3^u>3^v \Rightarrow v>u
vay u=v nghĩa là sao hả bạn?

ukm nếu ko lý luận như vậy thì c có thể trình bày thành f' > 0 hàm đb => f(u)=f(v) hay u= v thế là đc

 

[xuanhoang225]

thế nhưng tớ vẫn không thể phân tích được x^2-x+1 thành (x-1)^2 + .. được?

 

[silvery21]

thế nhưng tớ vẫn không thể phân tích được x^2-x+1 thành (x-1)^2 + .. được?

ukm; cậu thử xem lại đề koi

 

[phamduyquoc0906]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2 - x +1} = 2009^{y-1} + 1 \\ y+\sqrt{y^2 - y +1} = 2009^{x-1} + 1 \end{array} \right.$$
Ai làm được thì post lên cho mọi người với nha!

[TEX]hpt\Leftrightarrow{\left{x+\sqrt{x^2 - x +1}+1 = 2009^{y-1} + 1\\x+\sqrt{x^2 - x +1}+2009^{x-1} = y+\sqrt{y^2 - y +1}+2009^{y-1} (1)[/TEX]
[TEX]f(t)=t+\sqrt{t^2 - t +1}+2009^{t-1} \ \ \ (t\in{r})\ \ [/TEX][TEX]\Rightarrow{f^'(t)=1+\frac{2t-1}{2\sqrt{t^2 - t +1}}+2009^{t-1}ln(2009)=\frac{\sqrt{(t-\frac{1}{2})^2 +\frac{3}{4}}+t-\frac{1}{2}}{\sqrt{(t-\frac{1}{2})^2 +\frac{3}{4}}}+2009^{t-1}.ln(2009)>0\ \ \forall{t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{f(t):db\ \ (*)[/TEX][TEX]\ \ \ \ \ (\sqrt{x^2+a}+x>0\ \ \ \forall{x},\forall{a>0)[/TEX]

[TEX](1)\Leftrightarrow{f(x)=f(y)\Leftrightarrow{x=y\ \ (do\ \ *)[/TEX]

[TEX]hpt\Leftrightarrow{\left{x=y\\x+\sqrt{x^2 - x +1} = 2009^{x-1} + 1[/TEX]

 

[xuanhoang225]

ukm; cậu thử xem lại đề koi

Đã kiểm tra lại rồi! Đề chắc chắn đúng! sdjfosjfjsdoifjo