Hàm số bậc ba $(C):y=f\left( x \right)=a.{{x}^{3}}+b.{{x}^{2}}+c.x+d $

hoanghondo94 · 25 Tháng năm 2012

Chuyên đề
Hàm số bậc ba $\left( C \right):y=f\left( x \right)=a.{{x}^{3}}+b.{{x}^{2}}+c.x+d $ (với $a\ne 0$)

A./ PHƯƠNG PHÁP:

Cơ sở của phương pháp là sử dụng đạo hàm để thành lập bảng biến thiên trên tập xác định:
$D=\left( -\infty ;+\infty \right)$, trong lúc khảo sát và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ như sau:
$\left( C \right):y=f\left( x \right)=a.{{x}^{3}}+b.{{x}^{2}}+c.x+d$ (với $a\ne 0$)
Miền xác định: $D=\left( -\infty ;+\infty \right)$
Các đạo hàm: ${{y}^{\prime }}=3.a.{{x}^{2}}+2.b.x+c$ và ${{y}^{\prime \prime }}=6.a.x+2.b$ (đạo hàm cấp hai không có trong thang điểm)
Tâm đối xứng là điểm uốn $I\left( -\dfrac{b}{3.a};f\left( -\dfrac{b}{3.a} \right) \right)$ (không có trong thang điểm)
Ghi chú: Xét $\Delta ={{\Delta }_{{{y}^{\prime }}}}=4.{{b}^{2}}-4.3.a.c=4\left( {{b}^{2}}-3.a.c \right)$.
Ta được bảng tổng kết sau (nhớ tính các giới hạn của hàm số khi $x$ ra vô cùng vì có trong thang điểm)

Vài tình huống thường gặp trong các Bài Toán Của Đồ Thị Hàm Bậc Ba.

Điều kiện cần và đủ để đồ thị $\left( C \right)$ có điểm cực đại và điểm cực tiểu (hàm số có cực trị) là:
${{y}^{\prime }}={{f}^{\prime }}\left( x \right)=g\left( x \right)=3.a.{{x}^{2}}+2.b.x+c=0$ có ${{\Delta }_{g}}=4\left( {{b}^{2}}-3.a.c \right)>0$
Gọi $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ các điểm cực trị, vậy điểm đó phải thỏa: $$\begin{cases}
{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)&=a.x_{0}^{3}+b.x_{0}^{2}+c.{{x}_{0}}+d \\
g\left( {{x}_{0}} \right)&=3.x_{0}^{2}+2.b.{{x}_{0}}+c
\end{cases}$$ Thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp $\dfrac{f\left( {{x}_{0}} \right)}{g\left( {{x}_{0}} \right)}$, ta có: $${{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)=\left( A{{x}_{0}}+B \right).g\left( {{x}_{0}} \right)+\alpha .{{x}_{0}}+\beta \Leftrightarrow {{y}_{0}}=\alpha .{{x}_{0}}+\beta $$ (vì $g\left( {{x}_{0}} \right)=0$).
Vậy $\left( d \right):y=\alpha .x+\beta $ là đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của $\left( C \right)$.
Để ý thêm điểm uốn của $\left( C \right)$là $I\in \left( d \right)$ hay là $A,I,B$ thẳng hàng.
Do đó tọa độ cực trị và điểm uốn là: $$A:\begin{cases}
{{x}_{A}}&={{x}_{\text{CĐ}}}\\
{{y}_{A}}&=\alpha .{{x}_{\text{CĐ}}}+\beta \end{cases}\qquad B:\begin{cases}
{{x}_{B}}&={{x}_{\text{CT}}} \\
{{y}_{B}}&=\alpha .{{x}_{\text{CT}}}+\beta \end{cases}\qquad I:\begin{cases}
{{x}_{I}}&=\frac{-b}{3a} \\
{{y}_{I}}&=\frac{-\alpha b}{3a}+\beta \end{cases}.$$
Từ các tọa độ $A, B, I$ chứa tham số $m$, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó sau khi thực hiện hai bước cơ bản:
- Khử tham số $m$.
- Giới hạn khoảng thay đổi (giá trị) của tọa độ từ điều kiện tồn tại $m$ với mọi giá trị tham số $m\in D_m$.
  Từ đó ta có ngay quỹ tích của $A, B$ hay $I$ là $(d): y=\alpha.x+\beta$.
$\left(C \right)$ tiếp xúc $Ox$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: $$\begin{cases} a.x^3+b.x^2+c.x+d&=0\\
3.a.x^2+2.b.x+c&=0
\end{cases}$$
$\left(C \right)$ cắt $Ox$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi: $$ \begin{cases} \Delta_g >0 \\ y_{\text{CĐ}}.y_{\text{CT}}<0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (b^2-3.a.c) >0 \\ (\alpha.x_{\text{CĐ}}+\beta).(\alpha.x_{\text{CT}}+\beta)<0\end{cases}$$
$\left(C \right)$ cắt $Ox$ tại 2 điểm khi và chỉ khi: $$ \begin{cases} \Delta_g >0 \\ y_{\text{CĐ}}.y_{\text{CT}}=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (b^2-3.a.c) >0 \\ (\alpha.x_{\text{CĐ}}+\beta).(\alpha.x_{\text{CT}}+\beta)=0\end{cases}$$
$\left(C \right)$ luôn cắt $Ox$ tại ít nhất 1 điểm, có nghĩa là phương trình: $$ a.x^3+b.x^2+c.x+d=0\qquad (a\neq 0)$$ Không thể nào vô nghiệm được.
$\left(C \right)$ cắt $Ox$ tại đúng 1 điểm khi và chỉ khi: $$\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\Delta }_{g}}\le 0 \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\Delta }_{g}}>0 \\
{{y}_{\text{CĐ}}}.{{y}_{\text{CT}}}>0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{b}^{2}}-3.a.c\le 0 \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{b}^{2}}-3.a.c>0 \\
(\alpha .{{x}_{\text{CĐ}}}+\beta ).(\alpha .{{x}_{\text{CT}}}+\beta )>0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$$
Phương trình: $a.x^3+b.x^2+c.x+d=0$ có 3 nghiệm dương khi và chỉ khi: (hình vẽ [HINT]

)

$\begin{cases}
a>0 \\
{{y}_{\text{CĐ}}}.{{y}_{\text{CT}}}<0 \\
{{\Delta }_{g}}>0 \\
f\left( 0 \right)<0 \\
{{x}_{\text{CĐ}}}>0 \\
\end{cases}\qquad$ hoặc $\qquad\begin{cases}
a<0 \\
{{y}_{\text{CĐ}}}.{{y}_{\text{CT}}}<0 \\
{{\Delta }_{g}}>0 \\
f\left( 0 \right)>0 \\
{{x}_{\text{CT}}}>0 \\
\end{cases}$
Phương trình: $a.x^3+b.x^2+c.x+d=0$ có 3 nghiệm âm khi và chỉ khi:

$\begin{cases}
a>0 \\
{{y}_{\text{CĐ}}}.{{y}_{\text{CT}}}<0 \\
{{\Delta }_{g}}>0 \\
f\left( 0 \right)>0 \\
{{x}_{\text{CT}}}<0 \\
\end{cases}\qquad$ hoặc $\qquad\begin{cases}
a<0 \\
{{y}_{\text{CĐ}}}.{{y}_{\text{CT}}}<0 \\
{{\Delta }_{g}}>0 \\
f\left( 0 \right)<0 \\
{{x}_{\text{CĐ}}}<0 \\
\end{cases}$
Phương trình: $a.x^3+b.x^2+c.x+d=0$ có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi:

$\begin{cases}
a>0 \\
{{y}_{\text{CĐ}}}.{{y}_{\text{CT}}}<0 \\
{{\Delta }_{g}}>0 \\
f\left( 0 \right)>0 \\
{{x}_{\text{CT}}}>0 \\
\end{cases}\qquad$ hoặc $\qquad\begin{cases}
a<0 \\
{{y}_{\text{CĐ}}}.{{y}_{\text{CT}}}<0 \\
{{\Delta }_{g}}>0 \\
f\left( 0 \right)<0 \\
{{x}_{\text{CĐ}}}>0 \\
\end{cases}$
Phương trình: $a.x^3+b.x^2+c.x+d=0$ có đúng 2 nghiệm âm khi và chỉ khi:

$\begin{cases}
a>0 \\
{{y}_{\text{CĐ}}}.{{y}_{\text{CT}}}<0 \\
{{\Delta }_{g}}>0 \\
f\left( 0 \right)<0 \\
{{x}_{\text{CĐ}}}<0 \\
\end{cases}\qquad$ hoặc $\qquad\begin{cases}
a<0 \\
{{y}_{\text{CĐ}}}.{{y}_{\text{CT}}}<0 \\
{{\Delta }_{g}}>0 \\
f\left( 0 \right)>0 \\
{{x}_{\text{CT}}}<0 \\
\end{cases}$
Phương trình $a.x^3+b.x^2+c.x+d=0$ có 3 nghiệm tạo thành một cấp số cộng ($x_1+x_3=2.x_2$) hay nói theo ngôn ngữ đồ thị là "$(C) \cap Ox=\left\{ A;B;C \right\}$ mà $AB=BC$" khi và chỉ khi: $$\begin{cases}\Delta_g>0 &: (\exists \text{CĐ;CT})\\ f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)=0 &: \text{(điểm uốn)} I\in Ox\end{cases}$$
Trong một số bài toán (đặc thù) ta có thể nhẩm ra một nghiệm $x=\alpha$ của phương trình $a.x^3+b.x^2+c.x+d=0: (\star)$ khi đó ta viết:

$a.{{x}^{3}}+b.{{x}^{2}}+c.x+d=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=\alpha \\
& \underbrace{a.{{x}^{2}}+\left( b+\alpha \right).x+\alpha .\left( \alpha .a+b \right)+\varphi }_{h\left( x \right)}=0 \\
\end{align} \right.$
$h(x)$ có được bởi phép chia đa thức $(\star)$ cho $x-\alpha$ (dĩ nhiên ta có thể bày ra vài mẹo nhỏ để chia cho nhanh)
- $(\star)$ có 3 nghiệm đơn $\Leftrightarrow \begin{cases}
  h\left( \alpha \right)\ne 0 \\
  {{\Delta }_{h}}>0
  \end{cases}$
- $(\star)$ có đúng 2 nghiệm $\Leftrightarrow \begin{cases}
  h\left( \alpha \right)\ne 0 \\
  {{\Delta }_{h}}=0
  \end{cases} \quad \vee \quad\begin{cases}
  h\left( \alpha \right)= 0 \\
  {{\Delta }_{h}}>0
  \end{cases}$
- $(\star)$ có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow \begin{cases}
  h\left( \alpha \right)= 0 \\
  {{\Delta }_{h}}=0 \quad \vee \quad \Delta_h <0
  \end{cases}$
Đồ thị $(C): y=a.x^3+b.x^2+c.x+d \quad (a\neq 0)$ cũng có:
- Khi $a>0$, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé nhất so với hệ số góc của mọi tiếp tuyến có được với $(C)$.
- Khi $a<0$, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn lớn nhất so với hệ số góc của mọi tiếp tuyến có được với $(C)$.
- Qua $\left(x_0;y_0\right)=I$ (điểm uốn của $(C)$) chỉ kẻ đúng được một tiếp tuyến với $(C)$.
Định lí VIÉTE: Khi $a.x^3+b.x^2+c.x+d=0$ có ba nghiệm $x_1, x_2, x_3$ thì:
$$\begin{cases}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-\frac{b}{a} \\
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}.{{x}_{3}}+{{x}_{3}}.{{x}_{1}}=\frac{c}{a} \\
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=-\frac{d}{a} \\
\end{cases}$$

Nguồn : EContinuum

..

hoathuytinh16021995 · 25 Tháng năm 2012

chị ơi cái hệ thức vi -et dành cho pt bậc 3 phải cm mới đc sd
chị cm nó đc k?

hoanghondo94 · 25 Tháng năm 2012

- Chứng minh được định lí Viet cho hàm bậc 3 :

Giả sử $x_1;x_2;x_3$ là nghiệm của phương trình $ax^3+bx^2+cx+d=0$

thì công thức $Viet$ (sau khi chia đều hai bên cho $a_3$ tức $a$, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:
$$\begin{cases}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-\frac{b}{a} \\
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}.{{x}_{3}}+{{x}_{3}}.{{x}_{1}}=\frac{c}{a} \\
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=-\frac{d}{a} \\
\end{cases}$$
- Nhân đây cũng xin được nói thêm Về định lí $viet$ đảo cho hàm bậc 3 và hàm bậc cao khác :

1. Định lí đảo của định lí Viet:

Nếu ba số

$gif.latex$

thỏa mãn :

$gif.latex$

thì

$gif.latex$

là ba nghiệm của phương trình :

$gif.latex$

.

2. Định lí Viet cho phương trình bậc cao

Nếu đa thức

$gif.latex$

(

$gif.latex$

có n nghiệm

$gif.latex$

thì ta có:

$gif.latex$

.
Ta kí hiệu :

$gif.latex$

;

$gif.latex$

là tổng các tích chập k của n số

$gif.latex$

và được gọi là các đa thức đối xứng sơ cấp của các nghiệm.

Chứng minh phương trình bậc 3 : $ax^3+bx^2+cx+d=0$ $( a,b,c,d $ thuộc R ) luôn có nghiệm

- Xét pt bậc ba: [TEX]ax^3+bx^2+cx+d=0 (a \not=0)[/TEX]:

Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ( $ f(x)$ liên tục trên R.)

$TH_1: a>0:$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ nên $ \exists a>0$ để với $x>a thì f(x)>0. $

Chọn [TEX]a_1>a \Rightarrow f(a_1)>0[/TEX]

[TEX]\lim_{x\to-\infty}= - \infty [/TEX] nên [TEX] \exists b<0[/TEX] để với x<b thì f(x)<0.

Chọn[TEX] b_1<b \Rightarrow f(b_1)<0[/TEX]

$f(a_1).f(b_1)<0$ Pt có nghiệm nếu $a>0$

$TH_2: a<0:$

[TEX]\lim_{x\to+\infty}f(x)= - \infty[/TEX] nên [TEX] \exists a<0[/TEX] để với $x<a$ thì $f(x)<0.$

Chọn [TEX]a_2<a \Rightarrow f(a_2)<0[/TEX]

[TEX]\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty [/TEX]nên[TEX] \exists b>0[/TEX] để với $x>b$ thì $f(x)>0.$

Chọn [TEX]b_2>b \Rightarrow f(b_2)>0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(a_2).f(b_2)<0[/TEX] Pt có nghiệm nếu a<0

Vậy pt $f(x)=0$ luôn có nghiệm.

P/S : Sưu tầm + tự biên soạn

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Hàm số bậc ba $(C):y=f\left( x \right)=a.{{x}^{3}}+b.{{x}^{2}}+c.x+d $

hoanghondo94

hoathuytinh16021995

hoanghondo94