Toán 12 GTNN, GTLN

[haathptkdhy@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn cho mình hỏi bài này với ạ! Cảm ơn các bạn nhiều
Đề bài: Cho x, y> 0 thỏa mãn [tex]x^{2}y+xy^{2}=x+y+3xy[/tex]
Tìm GTNN của [tex]S=x^{2}+y^{2}+\frac{(1+2xy)^{2}-3}{2xy}[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đặt [TEX]s=x+y,p=xy \Rightarrow s,p>0; s^2 \geq 4p[/TEX]
Ta có: [TEX]S=x^2+y^2+\frac{(1+2xy)^2-3}{2xy}=x^2+y^2+\frac{4x^2y^2+4xy-2}{2xy}=x^2+y^2+2xy+2-\frac{1}{xy}=(x+y)^2+2-\frac{1}{xy}=s^2+2-\frac{1}{p}[/TEX]
Lại từ giả thiết ta có: [TEX]xy(x+y)=x+y+3xy \Rightarrow sp=s+3p \Rightarrow s=p(s-3) \leq (s-3).\frac{s^2}{4} \Rightarrow s(s-4)(s+1) \geq 0 \Rightarrow s \geq 4[/TEX]
Từ đó [TEX]S=s^2+2-\frac{1}{p}=s^2+2-\frac{s-3}{s}=s^2+\frac{3}{s}+1[/TEX]
Khảo sát hàm [TEX]f(x)=x^2+\frac{3}{x}+1[/TEX] trên [TEX][4,+\infty)[/TEX] ta có [TEX]\min f(x)=17+\frac{3}{4}[/TEX] tại [TEX]x=4[/TEX]. Từ đó [TEX]\min S=17+\frac{3}{4}[/TEX] tại [TEX]x=y=2[/TEX]

Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức môn học khác tại đây.