Toán 9 GTNN-GTLN

[PDK Films]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b>0 và a+b$$\leq$$1.Tìm GTNN của biểu thức S=$$\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}$$
Bài 2 Cho x,y,z>0 và $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$$. Tìm GTLN của biểu thức A =$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$$

 

[Bonechimte]

Bài 1: Cho a,b>0 và a+b$$\leq$$1.Tìm GTNN của biểu thức S=$$\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}$$
Bài 2 Cho x,y,z>0 và $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$$. Tìm GTLN của biểu thức A =$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$$

2:$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
... tương tự r cộng vào => đpcm

 

[PDK Films]

2:$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
... tương tự r cộng vào => đpcm

Mình chưa hiểu lắm

 

[Bonechimte]

Bài 1: Cho a,b>0 và a+b$$\leq$$1.Tìm GTNN của biểu thức S=$$\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}$$
Bài 2 Cho x,y,z>0 và $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$$. Tìm GTLN của biểu thức A =$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$$

Mình chưa hiểu lắm

Cauchy thoi bạn eyyy :3

 

[PDK Films]

Áp dụng cauchy trong trường hợp này ntn

 

[Bonechimte]

$\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Hoặc
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{2x+y+z}$

 

[Ann Lee]

Bài 1: Cho a,b>0 và a+b$$\leq$$1.Tìm GTNN của biểu thức S=$$\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}$$
Bài 2 Cho x,y,z>0 và $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$$. Tìm GTLN của biểu thức A =$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$$

Bài 1:
$\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}$
$=\frac{1}{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}+\frac{9}{3ab}+\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}+8-8-\frac{3}{ab}$
$\geq \frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}+\frac{9}{3ab}+3\sqrt[3]{\frac{1}{a^{2}b}.\frac{1}{ab^{2}}.8}-8-\frac{3}{ab}$ ( vì $$a+b\leq 1$$) ( áp dụng BĐT Cauchy 3 số)
$\geq \frac{(1+3)^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}+3ab}+\frac{6}{ab}-8-\frac{3}{ab}$ ( áp dụng BĐT Svacxo)
$=\frac{16}{(a+b)^{2}}+\frac{3}{ab}-8$
$\geq 16+\frac{3}{\frac{(a+b)^{2}}{4}}-8$ ( áp dụng BĐT phụ $$(a+b)^{2}\geq 4ab$$)
$\geq 8+\frac{3}{\frac{1}{4}}=20$
Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$$