Toán 12 GTNN, GTLN

[ledinhvu_ts]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thức dương x, y, z thỏa mãn xyz=x+y+z và x;y;z>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bt sau:
(x-1)/y^2 + (y-1)/z^2 + (z-1)/x^2

 

[tranvanhung7997]

Từ giả thiết ta có: $\sum \dfrac{1}{xy} = 1$
Ta có $P = \dfrac{x-1+y-1}{y^2} + \dfrac{y-1+z-1}{z^2}+ \dfrac{z-1+x-1}{x^2} - \sum \dfrac{1}{x} + \sum \dfrac{1}{x^2}$
Mà $\sum \dfrac{x-1+y-1}{y^2} = (x-1)(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}) + (y-1)(\dfrac{1}{y^2}) + (z-1)(\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2})$
$\ge (x-1) \dfrac{2}{xy} + (y-1) \dfrac{2}{yz} + (z-1) \dfrac{2}{zx} = 2 \sum \dfrac{1}{x} - 2 \sum \dfrac{1}{xy}$
Do đó $P \ge \sum \dfrac{1}{x} + \sum \dfrac{1}{x^2} - 2 \sum \dfrac{1}{xy}$
Ta có: $(\sum \dfrac{1}{x})^2 \ge 3 \sum \dfrac{1}{xy} = 3$ \Rightarrow $\sum \dfrac{1}{x} \ge \sqrt{3}$
Và $\sum \dfrac{1}{x^2} \ge \sum \dfrac{1}{xy} = 1$
Từ đó suy ra $P \ge \sqrt{3} - 1$
Dấu = tại $x = y = z = \sqrt{3}$



Bài viết thứ 500 =)) gửi tặng pe_lun_hp