Toán 12 GTNN, GTLN

[sieuphongdo2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 số dương x,y,z thỏa x+y+z=1
tìm Max Min của P=x^3+y^3+z^3

 

[congchuaanhsang]

cho 3 số dương x,y,z thỏa x+y+z=1
tìm Max Min của P=x^3+y^3+z^3

Theo Cauchy-Schwarz:

$(x+y+z)^2$ \leq $3(x^2+y^2+z^2)$

\Leftrightarrow $x^2+y^2+z^2$ \geq $\dfrac{1}{3}$

$(x^2+y^2+z^2)^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+ \sqrt{y} .\sqrt{y^3}+\sqrt{z}.\sqrt{z^3})^2$

\leq $(x+y+z)(x^3+y^3+z^3)=x^3+y^3+z^3$

\Leftrightarrow $x^3+y^3+z^3$ \geq $\dfrac{1}{9}$

$P_{min}=\dfrac{1}{9}$ \Leftrightarrow $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

 

[eye_smile]

Có thể áp dụng Holder:

$(x^3+y^3+z^3)(1^3+1^3+1^3)(1^3+1^3+1^3) \ge (x.1.1+y.1.1+z.1.1)^3=(x+y+z)^3=1$

\Leftrightarrow $x^3+y^3+z^3 \ge \dfrac{1}{9}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

 

[huynhbachkhoa23]

Từ đề suy ra $x,y,z \in (0;1)$

$f(t)=t^3; f'(t)=3t^2$

Tiếp tuyến tại $t=\dfrac{1}{3}: (d): y=\dfrac{1}{3}t-\dfrac{2}{27}$

$f''(t)>0$ với mọi $t>0$

Suy ra $(d)$ nằm dưới $(C): y=f(t)$ với mọi $t\in (0;1)$

Suy ra $t^3 \ge \dfrac{1}{3}t-\dfrac{2}{27}$ với mọi $t\in (0;1)$

Suy ra $\sum x^3 \ge \dfrac{1}{3}(\sum x)-\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{9}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

 

[transformers123]

áp dụng bđt Schwarz, ta có:

$x^3+y^3+z^3 \ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z} \ge (\dfrac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)})^2=\dfrac{1}{9}$

dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

Đề phải là $x, y, z \ge 0$ chứ

ta có $x+y+z=1$ và $x, y, z \ge 0$ nên:

$0 \le x, y, z \le 1$

$\Longrightarrow x+y+z \ge x^3+y^3+z^3$

$\iff x^3+y^3+z^3 \le 1$

dấu "=" xảy ra khi $(x;y;z)=(1;0;0)\ ;\ (0;1;0)\ ;\ (0;0;1)$