Toán 12 GTNN, GTLN

[apple10]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Gọi a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minnh rằng:
52/27 \leq a^2 + b^2 + c^2 < 2

 

[conangbuongbinh_97]

+)Ta có
[TEX]abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)[/TEX] (dễ dàng c/m theo cô-si)
[TEX]\Leftrightarrow abc \geq (2-2c)(2-2a)(2-2b)[/TEX] (do a+b+c=2)
[TEX]\Leftrightarrow abc \geq 8(1-a)(1-b)(1-c)\\\Leftrightarrow 9abc \geq 8(ab+bc+ca)-8\\\Leftrightarrow 9(a^2+b^2+c^2)+18abc \geq 9(a^2+b^2+c^2)+16(ab+bc+ca)-16\\\Leftrightarrow 9(a^2+b^2+c^2+2abc) \geq 8(a+b+c)^2 + (a^2+b^2+c^2)-16 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} + 16=\frac{52}{3}\\\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc \geq \frac{52}{27}(1)[/TEX]
"="\Leftrightarrow a=b=c=2\3

Đề sai?Hay e sai?

+)Nếu theo cái [TEX]a^2+b^2+c^2+2abc [/TEX] thì phần sau sẽ thế này:
[TEX]a^2+b^2+c^2+2abc=(a+b+c)^2+2(abc-ab-ac-bc)[/TEX]
Do a,b,c là 3 cạnh của tam giác và a+b+c=2 \Rightarrow a,b,c <1
[TEX]\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1) < 0\\\Leftrightarrow abc-ab-bc-ca < -1\\\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc <2(2)[/TEX]
Từ (1)(2) \Rightarrow đpcm