Ta thấy: [imath]a^2+2b=(2-b)^2+2b=b^2-4b+4+2b=b^2-2b+4=b^2+2a[/imath]
[imath]\Rightarrow \sqrt{a^2+2b}+\sqrt{b^2+2a}=\sqrt{2(a^2+b^2+2a+2b)}=\sqrt{2(a^2+b^2)+8}[/imath]
Lại có: [imath]a+b=2 \Rightarrow a^2+2ab+b^2=4 \Rightarrow a^2+b^2=4-2ab[/imath]
[imath]\Rightarrow P=\sqrt{2(4-2ab)+8}+2\sqrt{4+ab}=\sqrt{16-4ab}+\sqrt{16+4ab}[/imath]
+ Tìm GTLN:
[imath]\sqrt{16-4ab}+\sqrt{16+4ab} \leq \sqrt{2[(16-4ab)+(16+4ab)]}=8[/imath]
[imath]\Rightarrow P \leq 8[/imath]
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi [imath]a=0,b=2[/imath].
+ Tìm GTLN:
[imath]P^2=32+8\sqrt{(4-ab)(4+ab)}=32+8\sqrt{16-(ab)^2}[/imath]
Vì [imath]ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4}=1[/imath] nên [imath]P^2 \geq 32+8\sqrt{15}=4(8+2\sqrt{15})=4(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2[/imath]
[imath]\Rightarrow P \geq 2(\sqrt{3}+\sqrt{5})[/imath] (do [imath]P>0[/imath]).
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b=1[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
