Toán 12 GTLN GTNN

[thanhbinh221]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1 cho hai số thực dương a và b thỏa mãn [tex]a^{6} +6a^{4}-a^{3}b^{3}+(15-3b^{2})a^{2} -6ab+10=0[/tex] hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+2b
bài 2: cho hai số thực x,y thỏa mãn [tex](x-2)\sqrt{x^{2}-4x+5}+(y-1)\sqrt{y^{2}-2y+2}=0[/tex] hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức [tex]P=xy(x^{3}+y^{3})[/tex]

 

[iceghost]

1) gt $\iff a^6 + 6a^4 + 12a^2 + 8 + 3(a^2 + 2) = a^3b^3 + 3a^2b^2 + 3ab + 1 + 3(ab + 1)$
$\iff (a^2 + 2)^3 + 3(a^2 + 2) = (ab + 1)^3 + 3(ab+1)$
$\iff a^2 + 2 = ab + 1$
$\iff b = a + \dfrac{1}{a}$
$S = a + 2b = 3a + \dfrac{2}{a} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

2) gt $\iff (x-2) \sqrt{(x-2)^2 + 1} = (1-y) \sqrt{(1- y)^2 + 1}$
$\iff \ldots \iff x-2 = 1-y$
$\iff x+y = 3$
$P = xy (x^3 + y^3) = 3xy(x^2 - xy + y^2) = 3xy(9 - 3xy)$
Do $xy \leqslant \dfrac{(x+y)^2}4 = \dfrac{9}4$, khảo sát $f(t) =3t(9 - 3t)$ trên $(-\infty, \dfrac{9}4]$ là được nhỉ... Có vẻ như không có GTLN?

 

[thanhbinh221]

sao ở bài 2 bạn lại ra đc x-2=1-y mình chưa hiểu lắm

 

[iceghost]

sao ở bài 2 bạn lại ra đc x-2=1-y mình chưa hiểu lắm

Xét hàm $f(t) = t \sqrt{t^2 +1}$ trên $\mathbb{R}$
$f'(t) = \sqrt{t^2+1} + \dfrac{t^2}{\sqrt{t^2+1}} > 0$
Suy ra $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Vậy pt $\iff f(x-2) = f(1-y)$
$\iff x-2 = 1-y$