Toán 12 GTLN, GTNN tích phân. bất đẳng thức tích phân

Thảo luận trong 'Nguyên hàm và tích phân' bắt đầu bởi Sweetdream2202, 30 Tháng ba 2019.

Lượt xem: 507

  1. Sweetdream2202

    Sweetdream2202 Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,615
    Điểm thành tích:
    216
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt sáu môn học.


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    I. Kiến thức
    - cho các hàm số [tex]f(x), g(x), h(x)[/tex] có đạo hàm trên khoảng [a;b] khi đó, ta có:
    • nếu [tex]f(x)\geq g(x)\geq h(x),\forall x\in [a;b]=>\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{a}^{b}g(x)dx \geq \int_{a}^{b}h(x)dx[/tex]
    • [tex]|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq |\int_{a}^{b}f(x)|dx[/tex]
    • [tex]\int_{a}^{b}(f(x))^{2n}dx\geq 0[/tex]. dấu bằng xảy ra khi [tex]f(x)=0,\forall x\in [a;b][/tex]
    • Bất đẳng thức Holder về tích phân:
    [tex]\int_{a}^{b}|f(x).g(x)|dx\leq (\int_{a}^{b}|f(x)|^mdx)^{\frac{1}{m}}.(\int_{a}^{b}|g(x)|^ndx)^{\frac{1}{n}}[/tex] với m, n > 0 và [tex]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1[/tex]
    với [tex]m=n=2=>\left ( \int_{a}^{b}f(x).g(x) dx\right)^2\leq \int_{a}^{b}f^2(x)dx.\int_{a}^{b}g^2(x)dx.[/tex]
    dấu bằng xảy ra khi f(x)=k.g(x)
    II. ví dụ
    1. cho f(x) liên tục trên [tex][0;\frac{\pi }{2}],\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(f^2(x)-2\sqrt{2}.f(x).sin(x-\frac{\pi }{4}))dx=\frac{2-\pi }{2}[/tex]. tính [tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx[/tex].
    để ý thì ta thấy, biểu thức bên trong dấu tích phân có thể đưa về 1 bình phương, vây nên ta nghĩ đến việc thêm bớt để xuất hiện bình phương bên trong tích phân.
    [tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(f^2(x)-2\sqrt{2}.f(x).sin(x-\frac{\pi }{4})+2sin^2(x-\frac{\pi }{4}))dx-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}2sin^2(x-\frac{\pi }{4})dx=\frac{2-\pi }{2}<=>\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(f(x)-\sqrt{2}.sin(x-\frac{\pi }{4}))^2dx=0[/tex]
    do đó, ta suy ra [tex]f(x)=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})[/tex]
    vậy, [tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})dx=0[/tex]
    2. cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn f(1)=0, [tex]\int_{0}^{1}\left [ f'(x) \right ]^2dx=7; \int_{0}^{1}x^2f(x)dx=\frac{1}{3}[/tex]. tính [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex] ( đề minh họa 2018 )
    sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta sẽ có:
    [tex]\frac{1}{3}=\int_{0}^{1}x^2f(x)dx=\frac{x^3}{3}f(x)\left.\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right|-\frac{1}{3}\int_{0}^{1}x^3f'(x)dx=>\int_{0}^{1}x^3f'(x)dx=-1[/tex]
    áp dụng bất đẳng thức holder cho tích phân, ta có:
    [tex]1=(\int_{0}^{1}x^3f'(x)dx)^2\leq \int_{0}^{1}x^6dx.\int_{0}^{1}[f'(x)]^2dx=\frac{1}{7}.7=1[/tex]
    do đó dấu bằng xảy ra => [tex]f'(x)=k.x^3[/tex]
    lại có: [tex]\int_{0}^{1}x^3f'(x)dx=-1=>k=-7=>f'(x)=-7x^3=>f(x)=\frac{-7x^4}{4}+C[/tex]
    mà f(1)=0 => [tex]C=\frac{7}{4}=>f(x)=-\frac{7x^3}{4}+\frac{7}{4}=>\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(-\frac{7x^3}{4}+\frac{7}{4})dx=\frac{7}{5}[/tex]
     
    Minh Thư_lovely princessCon Cá thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY