Toán 12 GTLN, GTNN tích phân. bất đẳng thức tích phân

[Sweetdream2202]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

I. Kiến thức
- cho các hàm số [tex]f(x), g(x), h(x)[/tex] có đạo hàm trên khoảng [a;b] khi đó, ta có:

• nếu [tex]f(x)\geq g(x)\geq h(x),\forall x\in [a;b]=>\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{a}^{b}g(x)dx \geq \int_{a}^{b}h(x)dx[/tex]
• [tex]|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq |\int_{a}^{b}f(x)|dx[/tex]
• [tex]\int_{a}^{b}(f(x))^{2n}dx\geq 0[/tex]. dấu bằng xảy ra khi [tex]f(x)=0,\forall x\in [a;b][/tex]
• Bất đẳng thức Holder về tích phân:

[tex]\int_{a}^{b}|f(x).g(x)|dx\leq (\int_{a}^{b}|f(x)|^mdx)^{\frac{1}{m}}.(\int_{a}^{b}|g(x)|^ndx)^{\frac{1}{n}}[/tex] với m, n > 0 và [tex]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1[/tex]
với [tex]m=n=2=>\left ( \int_{a}^{b}f(x).g(x) dx\right)^2\leq \int_{a}^{b}f^2(x)dx.\int_{a}^{b}g^2(x)dx.[/tex]
dấu bằng xảy ra khi f(x)=k.g(x)
II. ví dụ
1. cho f(x) liên tục trên [tex][0;\frac{\pi }{2}],\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(f^2(x)-2\sqrt{2}.f(x).sin(x-\frac{\pi }{4}))dx=\frac{2-\pi }{2}[/tex]. tính [tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx[/tex].
để ý thì ta thấy, biểu thức bên trong dấu tích phân có thể đưa về 1 bình phương, vây nên ta nghĩ đến việc thêm bớt để xuất hiện bình phương bên trong tích phân.
[tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(f^2(x)-2\sqrt{2}.f(x).sin(x-\frac{\pi }{4})+2sin^2(x-\frac{\pi }{4}))dx-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}2sin^2(x-\frac{\pi }{4})dx=\frac{2-\pi }{2}<=>\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(f(x)-\sqrt{2}.sin(x-\frac{\pi }{4}))^2dx=0[/tex]
do đó, ta suy ra [tex]f(x)=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})[/tex]
vậy, [tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})dx=0[/tex]
2. cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn f(1)=0, [tex]\int_{0}^{1}\left [ f'(x) \right ]^2dx=7; \int_{0}^{1}x^2f(x)dx=\frac{1}{3}[/tex]. tính [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex] ( đề minh họa 2018 )
sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta sẽ có:
[tex]\frac{1}{3}=\int_{0}^{1}x^2f(x)dx=\frac{x^3}{3}f(x)\left.\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right|-\frac{1}{3}\int_{0}^{1}x^3f'(x)dx=>\int_{0}^{1}x^3f'(x)dx=-1[/tex]
áp dụng bất đẳng thức holder cho tích phân, ta có:
[tex]1=(\int_{0}^{1}x^3f'(x)dx)^2\leq \int_{0}^{1}x^6dx.\int_{0}^{1}[f'(x)]^2dx=\frac{1}{7}.7=1[/tex]
do đó dấu bằng xảy ra => [tex]f'(x)=k.x^3[/tex]
lại có: [tex]\int_{0}^{1}x^3f'(x)dx=-1=>k=-7=>f'(x)=-7x^3=>f(x)=\frac{-7x^4}{4}+C[/tex]
mà f(1)=0 => [tex]C=\frac{7}{4}=>f(x)=-\frac{7x^3}{4}+\frac{7}{4}=>\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(-\frac{7x^3}{4}+\frac{7}{4})dx=\frac{7}{5}[/tex]